洛阳理工学院毕业设计（论文）
第2章 机器人动力学
2.1 动力学概述
机器人动力学是对机器人机构的力和运动之间关系与平衡进行研究的学科。机器人动力学是复杂的动力学系统，对处理物体的动态响应取决于机器人动力学模型和控制算法。机器人动力学主要研究动力学正问题和动力学逆问题两个方面，需要采用严密的系统方法来分析机器人动力学特证。
2.2 惯性矩
首先，在下图2-1里通过把质点的平移运动改作回转运动的分析，来了惯性矩的物理意义。
图2-1 平移运动作为回转运动的解析
若将力F作用到质量为m的质点的平移运动，看作是运动方向的标量，则可以表示为
???F （2.1）mx
式中，
?x?表示加速度。若把这一运动看作是质量可以忽略的棒长为r
的回转运动，则得到加速度和力的关系式为
?? ???r?x（2.2）
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NF?r （2.3）
??N?式中，和
是绕轴回转的角加速度和惯性矩。将式（2.1）、（2.2）
带入式（2.3），得到
???N （2.4）mr2?
则把式（2.4）改写，变为
???N I?（2.5）
I?mr2 （2.6）
式（2.6）是质点绕固定轴进行回转时的运动方程式。I相当于平移运动是时的质量，称之为惯性矩。
求质量连续分布物体的惯性矩时，可以将其分割成假想的微小的物体，然后再把每个微笑物体的惯性矩加在一起。这时，微小物体的质量dm、极其微小体积dV的关系，可用密度
?表示为
dm??dV （2.7）
所以，微小物体的惯性矩
dI?dmr2??r2dV （2.8）
因此，整个物体的惯性矩可像下式那样，作为于体积有关的积分值来求解。
I??dI???r2dV （2.9）
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2.3 拉格朗日运动学方程
拉格朗日运动学方程可表示为
d??L??L??????dt??q??q （2.10）
式中，q是广义坐标, ?是广义力。拉格朗日运动学方程式也可表示为
L?K?P （2.11）
L是拉格朗日算子，K是动能，P是势能。
现就前面讲的一自由度机械手来求解。假定?为广义坐标，则得到
1212K?I?L?I??mgLin?CsP?mgLsin?2C2， ，
由于
?L?L???mgCLco?s?I???? ， ??
所以用?置换式（1.73）的广义坐标得到下式
???mgLcos???I?C （2.12）
下面推导二自由度的机械手运动方程式。如下图2-2所示
图2-2 二自由度机械手
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在推导时，把把?1，?2当作广义力坐标，?1，?2当作广义力拉格朗日算子，带入式（2.10）的拉格朗日运动方程式就可以了。
第i个连杆的动能Ki、势能Pi可分别表示为
K1?1?T?T1?2m1PC1PC1?IC1?122 （2.13）
P1?m1gLC1S1 （2.14）
211T????K2?m2PC2PC2?IC2?1??222 （2.15）
??P2?m2g?L1S1?LC2S12?式中
（2.16）
??PCi??PCixPCiy???T是第i个连杆质量中心的位置向量。
PC1x?L1C1 （2.17）
PC1y?L1S1 （2.18）
PC2x?L1C1?LC2C12 （2.19）
PC2y?L1S1?LC2S12 （2.20）
应该注意到各连杆的动能可用质量中心平移运动的动能和绕质量中心回转运动的动能之和来表示。
由式（2.17）~（2.20），得到式（2.13），（2.15）中的质量中心速度平方和为
?2?TP??L2?PC1C1C11 （2.21）
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