第三章 托勒密定理及应用
【基础知识】
托勒密定理 圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积． 证明 如图3-1，四边形ABCD内接于O，在BD上取点P，使∠PAB?∠CAD，则△ABP∽△ACD，于是
AEOθBPθGDC图3-1
ABBP??AB?CD?AC?BP． ACCD又△ABC∽△APD，有BC?AD?AC?PD． 上述两乘积式相加，得 AB?CD?BC?AD?AC（BP?PD）?AC?BD．
①
注 此定理有多种证法，例如也可这样证：作AE∥BD交o于E，连EB，ED，则知BDAE为等腰梯形，有EB?AD，ED?AB，∠ABD?∠BDE??，且∠EBC?∠EDC?180?，令∠BAC??，AC与
BD交于G，则
111SABCD?AC?BD?sin∠AGD?AC?BD?sin(???)?AC?BD?sin∠EDC，
22211SEBCD?S△EBC?S△ECD?EB?BC?sin∠EBC?ED?DC?sin∠EDC
2211??EB?BC?ED?DC??sin∠EDC??AD?BC?AB?DC??sin∠EDC． 22易知 SABCD?SEBCD，从而有AB?DC?BC?AD?AC?BD．
推论1（三弦定理） 如果A是圆上任意一点，AB，AC，AD是该圆上顺次的三条弦，则 AC?sin∠BAD?AB?sin∠CAD?AD?sin∠CAB． ②
事实上，由①式，应用正弦定理将BD，DC，BC换掉即得②式．
推论2（四角定理） 四边形ABCD内接于O，则sin∠ADC?sin∠BAD?sin∠ABD?sin∠BDC ?sin∠ADB?sin∠DBC．
③
事实上，由①式，应用正弦定理将六条线段都换掉即得③式．
直线上的托勒密定理（或欧拉定理） 若A，B，C，D为一直线上依次排列的四点，则AB?CD?BC?AD?AC?BD．
注 由直线上的托勒密定理有如下推论：若A，B，C，D是一条直线上顺次四点，点P是直线AD外一点，则
sin∠APB?sin∠CPD?sin∠APD?sin∠BPC?sin∠APC?sin∠BPD． 事实上，如图3-2，设点P到直线AD的距离为h，
PAB图3-2CD
由AB?CD?AD?BC?AC?BD，有 S△PAB?S△PCD?S△PAD?S△PBC?S△PAC?S△PBD，
1用两边及夹角正弦形式的三角形面积表示上式后，两边同除以PA?PB?PC?PD即得推论．
4由上述推论也可证明圆内接四边形中的托勒密定理．
证明 如图3-3，在图上取一点P，连PA、PB、PC、PD，设PB交AD于B?，PC交AD于C?． 由正弦定理 sin∠APB?ABCDADBCAC，，，，，sin∠CPD?sin∠APD?sin∠BPC?sin∠APC?2R2R2R2R2Rsin∠BPD?BD，其中R为圆的半径． 2RAB'BC'PC图3-3D
对A、B?、C?、D应用直线上的托勒密定理的推论，有
sin∠APB?sin∠CPB?sin∠APD?sin∠BPC?sin∠APB??sin∠C?PD?sin∠APD?sin∠B?PC??sin∠APC??sin∠B?PD?sin∠APC?sin∠BPD．
故AB?CD?AD?BC?AC?BD．
四边形中的托勒密定理（或托勒密不等式） 设ABCD为任意凸四边形，则AB?CD?BC?AD≥ AC?BD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号．
证明 如图3-4，取点E使∠BAE?∠CAD，∠ABE?∠ACD，则△ABE∽△ACD，即有且
ADAC，?AEABACCD，即 ?ABBEADEB图3-4C
AB?CD?AC?BE．
①
又∠DAE?∠CAB，有△ADE∽△ACB，亦有 AD?BC?AC?ED． ② 由①式与②式，注意到BE?ED≥BD，有 AB?CD?BC?AD?AC（?BE?ED）≥AC?BD．
其中等号当且仅当E在BD上，即∠ABD?∠ACD时成立．此时A，B，C，D四点共圆．由此，即有
托勒密定理的逆定理 在凸四边形ABCD中，若AB?CD?BC?AD?AC?BD，则A，B，C，D四点共圆．
【典型例题与基本方法】
1．恰当地作出或选择四边形，是应用托勒密定理的关键
例1 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若角A，B，C的大小成等比数列，且b2-a2?ac，则角B的弧度数等于多少？ （1985年全国高中联赛题） 解 如图3-5，过点C作CD∥AB交△ABC的外接圆于D，连AD，则四边形ABCD为等腰梯形．由
托勒密定理，有b2?a2?c?CD．
DbacBCA图3-5
由已知有b2?a2?c?a，则CD?a，从而
AD?DC?CB，即ADC?2BC，亦即∠B?2∠BAC．
又因为在△ABC中，角A，B，C的大小成等比数列，则公比q?∠A?2∠A?4∠A?7∠A?π，故∠A?∠B?2，从而∠A?∠B?∠C? ∠Aπ2π，∠B?为所求． 77例2 凸四边形ABCD中，∠ABC?60?，∠BAD?∠BCD?90?，AB?2，CD?1，对角线AC，BD交于点O．如图3-6，求sin∠AOB． （1996年北京中学生竞赛题）
相关推荐：
loading