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专题二十七 平面向量的数量积及平面向量的应用
【高频考点解读】
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
【热点题型】
题型一 平面向量的数量积
例1、已知向量a，b，满足|a|＝3，|b|＝23，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为( ) π2π3π5πA. B. C. D. 2346
【提分秘籍】
1．两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．
2．两向量的夹角为锐角?cos θ>0且cos θ≠1.
3．向量的投影是一个实数，其值可正，可负，可为零． 【举一反三】
已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则向量a－b在向量a＋b方向上的投影是________．
【热点题型】
题型二 数量积的性质及运算律
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例2、如图，在平面四边形ABCD中，若AB＝2，CD＝1，则(AC＋DB)·(AB＋CD)＝( )
A．－5 B．0 C．3
D．5
【提分秘籍】
1．在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b却有|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a|·|b|·|cos θ|，而|cos θ|≤1.
2．实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定得到b＝c.
3．实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
【热点题型】
题型三 平面向量数量积的有关结论
例3、已知向量a和b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|a－b|＝( ) A.13 B．23 C.15 D．4
?－1?＝13，故|a－b|＝13. 解析：|a－b|2＝(a－b)·(a－b)＝|a|2＋|b|2－2a·b＝1＋9－2×1×3×?2?答案：A 【提分秘籍】
在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0，而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0成立．实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a
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＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.
【举一反三】
若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为( ) π2π3π5πA. B. C. D. 2346
【热点题型】
题型四 平面向量的夹角与模
例4、 (1)平面向量a与b的夹角为60°， |a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝( ) A.3 C．4
B．23 D．10
π(2)(2013年高考江西卷)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，
3则向量a在b方向上的投影为________．
【提分秘籍】
1．当a·b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系． 2．利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)|a|2＝a2＝a·a；
(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2； (3)若a＝(x，y)则|a|＝ 【举一反三】
已知a，b都是单位向量，且|a＋b|≥1，则a，b的夹角θ的取值范围是________． 解析：∵|a＋b|≥1，∴(a＋b)2≥1，即a2＋b2＋2a·b≥1，∵a，b都是单位向量，∴1＋1＋2cos
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x2＋y2.
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2π1
0，?. θ≥1，∴cos θ≥－，∵θ∈[0，π]，∴θ∈?3??2
2π
0，? 答案：?3??【热点题型】
题型五 数量积研究垂直问题及应用
例5、(2013年高考江苏卷)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a－b|＝ 2，求证：a⊥b；
(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．
【提分秘籍】
1．利用数量积研究垂直时注意给出的形式： (1)可用定义式a·b＝0?|a||b|cos θ＝0； (2)可用坐标式a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
2．在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量表示为共同的基底向量，再利用数量积进行求解．
【举一反三】
已知锐角三角形ABC中的内角为A、B、C的对边分别为a、b、c，定义向量m＝(2sin B，B
2cos2－1，cos 2B?，且m⊥n. 3)，n＝?2??
(1)求f(x)＝sin 2xcos B－cos 2xsin B的单调递减区间； (2)如果b＝4，求△ABC面积的最大值．
π
2B＋?＝0， 解析：∵m⊥n，∴m·n＝2sin Bcos B＋3cos 2B＝sin 2B＋3cos 2B＝2sin?3??πkππ
∴2B＋＝kπ(k∈Z)，∴B＝－(k∈Z)，
326
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