＝x+1．
当x＝2020时，原式＝2020+1＝2021．
18．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，求∠GFH的度数．
【分析】根据平行线的性质知∠GFB＝∠FED＝45°，结合图形求得∠GFH的度数． 解：∵AB∥CD，
∴∠GFB＝∠FED＝45°． ∵∠HFB＝20°，
∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝45°﹣20°＝25°．
19．红光中学学生乘汽车从学校去研学旅行基地，以75千米/小时的平均速度，用时2小时到达．由于天气原因，原路返回时汽车平均速度控制在不低于50千米/小时且不高于60千米/小时的范围内，这样需要用t小时到达．求t的取值范围．
【分析】根据路程＝速度×时间结合原路返回时汽车平均速度控制在不低于50千米/小时且不高于60千米/小时的范围内，即可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t的取值范围． 解：依题意，得：解得：2.5≤t≤3．
答：t的取值范围为2.5≤t≤3．
20．宜昌景色宜人，其中三峡大坝、清江画廊、三峡人家景点的景色更是美不胜收．某民营单位为兼顾生产和业余生活，决定在下设的A，B，C三部门利用转盘游戏确定参观的景点．两转盘各部分圆心角大小以及选派部门、旅游景点等信息如图．
（1）若规定老同志相对偏多的部门选中的可能性大，试判断这个部门是哪个部门？请说明理由；
（2）设选中C部门游三峡大坝的概率为P1，选中B部门游清江画廊或者三峡人家的概
，
率为P2，请判断P1，P2大小关系，并说明理由．
【分析】（1）计算各个部门的被选中的概率，得出答案；
（2）用列表法或树状图列举出所有可能出现的结果情况，从中找出“C部门游三峡大坝”频数，“B部门游清江画廊或者三峡人家”的频数，进而求出相应的概率，比较得出答案．
解：（1）C部门， 理由：∵PA＝
＝，PB＝
＝，PC＝
＝，
∴选择C部门的可能性大； （2）P1＝P2；
用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中“C部门游三峡大坝”的有2种，“B部门游清江画廊或者三峡人家”的也有2种， ∴P1＝
＝，P2＝
＝，
因此，P1＝P2．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2
a，∠ABC＝60，过点B的⊙O与边
AB，BC分别交于E，F两点．OG⊥BC，垂足为G，OG＝a．连接OB，OE，OF．
（1）若BF＝2a，试判断△BOF的形状，并说明理由；
（2）若BE＝BF，求证：⊙O与AD相切于点A．
【分析】（1）理由垂径定理得到BG＝FG＝a，则BG＝OG，FG＝OG，所以△BOG和 △OFG都是等腰直角三角形，则∠BOF＝90°，从而可判断△BOF为等腰直角三角形．（2）连接EF，如图，先证明△BEF为等边三角形，再证明点E、O、G共线，即EG⊥BF，接着计算出BE＝2BG＝2
a＝AB，则可判断点A与点E重合，然后证明AG
⊥AD，从而得到⊙O与AD相切于点A． 【解答】（1）解：△BOF为等腰直角三角形． 理由如下：∵OG⊥BC， ∴BG＝FG＝BF＝a， ∵OG＝a，
∴BG＝OG，FG＝OG，
∴△BOG和△OFG都是等腰直角三角形， ∴∠BOG＝∠FOG＝45°， ∴∠BOF＝90°， 而OB＝OF，
∴△BOF为等腰直角三角形． （2）证明：连接EF，如图， ∵∠EBF＝60°，BF＝BE， ∴△BEF为等边三角形， ∴EB＝EF， ∵OG垂直平分BF， ∴点E、O、G共线， 即EG⊥BF，
∵OG＝a，∠OBG＝30°， ∴BG＝
OG＝
a， a，
∴BE＝2BG＝2而AB＝2
a，
∴点A与点E重合， ∵AD∥BC，AG⊥BF，
∴AG⊥AD，
∴⊙O与AD相切于点A
22．资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．
材料：某地有A，B两家商贸公司（以下简称A，B公司）．去年下半年A，B公司营销区域面积分别为m平方千米，n平方千米，其中m＝3n，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，A公司营销区域面积比去年下半年增长了x%，B公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为，同时公共营销区域面积与A，B两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点． 问题：
（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比），并解答；
（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．
【分析】（1）问题：求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比？根据比的定义即可求解；
（2）根据同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，列出方程求出x，再求出去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．
解：（1）问题：求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比？ 3n×＝， n：n＝；
（2）依题意有×3n（1+x%）＝[3n（1+x%）+n（1+4x%）﹣×3n（1+x%）][3n
×+（3n+n﹣n+x%]， 100（x%）2+45x%﹣13＝0，
解得x%＝20%，x%＝65%（舍去），
设B公司每半年每平方千米产生的经济收益为a，则A公司每半年每平方千米产生的经济收益为1.5a，
今年上半年两公司总经济收益为1.5a×3n×（1+20%）+an×（1+4×20%）＝7.2na， 去年下半年两公司总经济收益为1.5a×3n+an＝5.5na，
故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为（5.5na）：（7.2na）＝55：72． 故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为55：72．
23．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，0°＜∠ABO≤60°，点G是射线OD上一个动点，过点G作GE∥DC交射线OC于点E，以OE，OG为邻边作矩形EOGF．
（1）如图1，当点F在线段DC上时，求证：DF＝FC；
（2）若延长AD与边GF交于点H，将△GDH沿直线AD翻折180°得到△MDH． ①如图2，当点M在EG上时，求证：四边形EOGF为正方形；
②如图3，当tan∠ABO为定值m时，设DG＝k?DO，k为大于0的常数，当且仅当k＞2时，点M在矩形EOGF的外部，求m的值．
【分析】（1）证明四边形GEFD是平行四边形，四边形GECF是平行四边形，得GE＝DF，GE＝CF，进而得结论；
（2）①由折叠的性质知，∠GDH＝∠MDH，DH⊥GM，再证明∠DGM＝45°，进而得OE＝OG，再根据正方形的判定方法得出结论；
②先证明k＝2时，M点在矩形 EOGF上，即点M在EF上，过点D作DN⊥EF于点N，设OB＝b，证明△MFH∽△DNM，用b表示MN，再由勾股定理列出m、n的方程
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