数学必修二第三章重难点

人教版数学必修二

第三章 直线与方程 重难点解析

第三章 课文目录

3．1 直线的倾斜角与斜率 3．2 直线的方程

3．3 直线的交点坐标与距离公式

重难点：

1、倾斜角、斜率、过两点的直线的斜率公式。 2、直线方程的两点式、截距式的推导及运用。 3、两点间的距离公式和它的简单应用。

4、点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离。

一、直线的倾斜角与斜率

1．直线的倾斜角

一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α叫做直线的倾斜角。一条直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角α为0°。

直线倾斜角的取值范围是：0°≤α<180°。

2．直线的斜率：

倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，记为k, 即k=tanα。 [说明]：(1) α=0°k=0 (2) 0°<α<90°k>0 (3) 90°<α<180°k<0 (4)α=90°k不存在。

[注意]：斜率k可以是任意实数，每条直线都存在唯一确定的倾斜角，但不是每条直线都有斜率。

3．过两点的直线的斜率公式：

直线经过两点P1(x1, y1), P2(x2 ,y2), (x1≠x2)。它的斜率

对于上面的斜率公式要注意下面五点：

。

(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；

(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;

(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;

(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

典型例题：

[例题1]：已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)

分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值; 而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角; 而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角; 而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°.

解析: 直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角; 直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角; 直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.

[例题2]：已知直线l1⊥l2，且l1的倾斜角为，求l1, l2的斜率。

解析：∵ l1的斜率角，∴ ，

则l1，l2的斜率分别为。

点评：已知直线的倾斜角，可以由定义式直接得出直线的斜率。

[例题3]：求出过两点A（-2，0），B（-5，3）的直线的倾斜角和斜率。

解析：，即tanα=-1， 而α∈[0，π），∴。

点评：已知直线的斜率，可以直接得出倾斜角，但要注意角的范围。

[例题4]：已知点P(a,b) (a,b不同时为0)，0为坐标原点，求直线OP的斜率和倾斜角。

解析：当b=0时，由a≠0，则OP的倾斜角α=0，斜率k=0。

当a,b同号时，，。

当a,b异号时，。

当a=0时，由b≠0，则

，k不存在。

点评：斜率是否存在，与P点位置有关；斜率的正、负与零，倾斜角的表达方式不同，这是因为倾角的范围造成的。

[例题5]：如图，直线l1的倾斜角?1?30?，直线l1?l2，求l1、l2的斜率。

解析：l1的斜率k1?tan30??3， 3l2

l1

∵l2的倾斜角?2?90??30??120?， ∴l2的斜率k2?tan?2?tan120???3．

[例题6]：已知?和k分别是l的倾斜角和斜率，当（1）sin??33；（2）cos??；（3）553cos???时，分别求直线l的斜率k．

533??解析：当sin??时，∵0???180，∴k?tan???．

5434????当cos??时，∵0???180，∴0???90，∴k?tan??．

5334????当cos???时，∵0???180，∴90???180，∴k?tan???．

53[例题7]：已知直线l的方程：(λ+1)x+2λy-1-λ=0(λ∈R)。

（1）求直线l的倾斜角的范围；

（2）证明此直线恒过一定点，并求定点坐标。

2

2

解析：（1）当λ=0时，倾角；当λ≠0时，直线化为：，

若λ>0，直线斜率。

若λ<0，直线斜率。

综上所述，l的倾角的范围是

。

（2）原方程变形为以λ为主变量的方程：(x-1)λ+2λy+(x-1)=0，令知此方程与λ无关的解为x=1, y=0。故直线l恒过定点(1, 0)。

二、直线的方程

2

，可

直线方程的四种形式： (1) 点斜式：

已知：直线l经过定点P0(x0,y0)，且斜率为k，则直线l的方程为：y-y0=k(x-x0)，称为直线的点斜式方程。特别地，当l的倾斜角为0°时，k=tan0°=0，此时，l的方程为y=y0。 如果直线l的斜率为k, 与y轴的交点为(0, b)，代入点斜式得l的方程为：y=kx+b（其中，b叫直线l的纵截距），这便是直线的斜截式。

[注意]：斜截式是点斜式的特例，两者均不能表示与x轴垂直的直线方程。换句话说，斜率存在的直线才可以用点斜式或斜截式表示，斜率不存在的直线的方程可写成x=x0的形式（直线经过P0(x0, y0)）。此外，斜截式中的b不是指距离，而是直线与y轴交点的纵坐标。b可正可负，也可为0。 （2）两点式：

已知：直线l过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)，(x1≠x2)，则利用斜率公式和点斜式可得l的方程为：

（其中x1≠x2，y1≠y2）。

这便是直线方程的两点式。两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，但把两点式化为整式

形式：

(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)，就可以利用它求出平面内过任意两个已知点的直线方程： 若x1=x2, y1≠y2时，则有x-x1=0，即: x=x1； 若y1=y2, x1≠x2时，则有y-y1=0, 即：y=y1。 （3）截距式：

如果直线l在x轴，y轴上的截距分别为a和b(a≠0, b≠0)，则l的方程为：。

这便是直线方程的截距式，显然，截距式是两点式的特例，它不能表示与坐标轴垂直及过原点的直线。 （4）一般式：

方程Ax+By+C=0（A、B不全为零）叫做直线方程的一般式。任何一条直线的方程都可以化成一般式。

直线的方程都是二元一次方程；任何一个关于x, y的二元一次方程都表示一条直线。这就是直线与二元一次方程的关系。

当B≠0时：直线Ax+By+C=0的斜率，在y轴上的截距。