－10x+25，根据等腰三角形的两边相等，分类讨论:
①令AB2=AP2，得25=x2－18x+90，解之，得:x1=5，x2=13，当x=5时，点P与点B重合，故舍去，P1(13，0);
x4=10，0)，P3(10，②令AB2=BP2，得25=x2－10x+25，解之，得:x3=0，当x=0时，点P与原点重合，故P2(0，0);
③令AP2=BP2，得x2－18x+90=x2－10x+25，解之，得:x=
6565，∴P4(，0); 8865，0). 8综上所述，使△ABP是等腰三角形的点P的坐标为:P1(13，0)，P2(0，0)，P3(10，0)，P4(
k2. （2019·金华）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y=（k＞0，
xx＞0）的图像上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD=2． （1）点A是否在该反比例函数的图像上？请说明理由． （2）若该反比例函数图像与DE交于点Q，求点Q的横坐标．
（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图像上，试描述平移过程．
【解题过程】（1）连结PC，过点P作PH⊥x轴于点H，∵在正六边形ABCDEF中，点B在y轴上， ∴△OBD和△PCH都含有30°角的直角三角形，BC=PC=CD=2． ∴OC=CH=1，PH=3．∴点P的坐标为（2，3），∴k=23． ∴反比例函数的表达式为y=23（x＞0）．连结AC，过点B作BG⊥AC于点G， x∵∠ABC=120°，AB=BC=2，∴BG=1，AG=CG=3．
∴点A的坐标为（1，23）．当x=1时，y=23，所以点A该反比例函数的图像上．
（2）过点Q作QM⊥x轴于点M，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠EDM=60°． 设DM=b，则QM=3B．∴点Q的坐标为（b＋3，3b）．∴3b（b＋3）=23． 解得b1=∴b＋3=?3?17?3?17，b2=（舍去）， 223?173?17．∴点Q的横坐标为． 22（3）连结AP．∵AP=BC=EF，AP∥BC∥EF，
∴平移过程：将正六边形ABCDEF先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，或将正六边形ABCDEF向左平移2个单位．
3.（2019·广州)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y=mx的图象与反比例函数y=
n?3x
的图象相交于A，P两点．
（1）求m，n的值与点A的坐标；（2）求证：△CPD∽△AEO；（3）求sin∠CDB的值．
【解题过程】解：将点P（﹣1，2）代入y=mx，得：2=﹣m，解得：m=﹣2，
∴正比例函数解析式为y=﹣2x； 将点P（﹣1，2）代入y=
n?3x
，得：2=﹣（n﹣3），解得：n=1，
y=?2x
2， ∴反比例函数解析式为y=?x．联立正、反比例函数解析式成方程组，得：{
y=?
2
x
x=?1x2=1
解得：{1，{，∴点A的坐标为（1，﹣2）．
y1=2y2=?2（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD， ∴∠DCP=∠BAP，即∠DCP=∠OAE．
∵AB⊥x轴，∴∠AEO=∠CPD=90°，∴△CPD∽△AEO． （3）解：∵点A的坐标为（1，﹣2）， ∴AE=2，OE=1，AO=√AE2+OE2=√5． ∵△CPD∽△AEO，∴∠CDP=∠AOE， ∴sin∠CDB=sin∠AOE=
AEAO
=
2√5=
2√5． 5
4．（2019·山西）综合与探究
如图，抛物线y=ax2+bx+6经过点A（－2，0），B(4，0)两点，与y轴交于点C．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m(1 3时，求m的值; 4(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点M的坐标;若不存在，请说明理由. ?4a?2b?6?0【解题过程】(1)∵抛物线y=ax2+bx+6经过点A（－2，0），B(4，0)两点，∴?，解之，得: 16a?4b?6?0?3?a???323?4，∴抛物线的函数表达式为:y??x?x?6; ?42?b?3??2(2)作直线DE⊥x轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为点F，∵点A的坐标为(－2，0)，∴OA=2，由x=0，得y=6，∴点C的坐标为(0，6)，∴OC=6，∴S△AOC= 139OA·OC=6，∴S△BCD=S△AOC=.设直线2423??4k?n?0?k??BC的函数表达式为y=kx+n，由B，C两点的坐标得:?2，∴直线BC的函数表，解之，得:?n?6???n?6达式为:y=－ 333333x+6.∴点G的坐标为(m，－m+6)，∴DG=?m2?m?6－(－m+6)=?m2?3m.∵点22422432329B的坐标为(4，0)，m2=1，∴OB=4，∴S△BCD=S△CDG+S△BDG=?m?6m.∴?m?6m=，解之，得m1=3， 442∴m的值为3. (3)存在点M，其坐标为:M1(8，0)，M2(0，0)，M3(14，0)，M4(－14，0).
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