2.1.2《指数函数及其性质》教案（第四课时）

“目标导航，问题引领”自主学习法课堂模式备课设计

高一数学组成员：

周连平 杨金银 曹容菊 何兴华 苏春元 郭婷 秦丽

2.1.2《指数函数及其性质》教案（第四课时）

高一数学备课组 主备人： 曹容菊 时间：10月3日 课型：习题课

一、 教学目标：

1．知识与技能

（1）掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法； （2）掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法； （3）培养学生的数学应用意识。 2．情感、态度、价值观 （1）培养学生数学应用意识。

（2）培养学生观察问题，分析问题的能力. 3．过程与方法

展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质. 二、重、难点

重点：函数单调性、奇偶性的证明通法 难点：指数函数性质的应用. 三、学法与教具：

①学法：观察法、讲授法及讨论法. ②教具：多媒体. 四、教学过程： （一）复习：（提问） 1、指数函数的图象及性质

2、判断及证明函数单调性的基本步骤：假设→作差→变形→判断 3、判断及证明函数奇偶性的基本步骤： （1）考查函数定义域是否关于原点对称；

（2）比较f(?x)与f(x)或者?f(x)的关系； （3）根据函数奇偶性定义得出结论。 （二）新课讲解：

ax?1例1．当a?1时，证明函数y?x 是奇函数。

a?1x证明：由a?1?0得，x?0，故函数定义域{xx?0}关于原点对称。

a?x?1(a?x?1)ax1?ax??xf(?x)??x???f(x) xxa?1(a?1)a1?aax?1∴f(?x)??f(x)，所以，函数y?x 是奇函数。

a?1评析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的

实数指数幂运算性质。 例2．设a是实数，f(x)?a?2(x?R)， 2x?1（1）试证明：对于任意a,f(x)在R为增函数； （2）试确定a的值，使f(x)为奇函数。

分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。 （1）证明：设x1,x2?R,x1?x2，则

f(x1)?f(x2)?(a?22)?(a?) x1x22?12?122 ?x2?x12?12?12(2x1?2x2)?x1， (2?1)(2x2?1)由于指数函数y?2在R上是增函数，且x1?x2，所以21?22即21?22?0， 又由2?0，得21xx?1xxxxx?0，2x2?1?0，所以，f(x1)?f(x2)?0即f(x1)?f(x2)．

因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)在R为增函数。 评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。

（2）解：若f(x)为奇函数，则f(?x)??f(x)，

2?2x22(2x?1)22即a??x， ?x?x??(a?x)，变形得：2a??xx(2?1)?22?12?12?12?1解得：a?1，所以，当a?1时, f(x)为奇函数。

评述：此题并非直接确定a值，而是由已知条件逐步推导a值。应要求学生适应这种题型。（三）课堂练习：

（1）已知函数f(x)为偶函数，当x?(0,??)时，f(x)??2x?1,求当x?(??,0)时，

f(x)的解析式。

（2）判断y?a(四)课堂小结：

灵活运用指数函数的性质，并掌握函数单调性，奇偶性证明的通法。 （五）布置作业：（补充）

x2?4x(a?0,a?1)的单调区间。

2x?11．已知函数f(x)?x，

2?1（1）判断函数f(x)的奇偶性；

（2）求证函数f(x)在x?(??,??)上是增函数。 2．函数y?32x2?3x?6的单调递减区间是 ．

3.已知函数f(x)定义域为R，当x?0时有f(x)?()

13x2?x，求f(x)的解析式。