一轮复习配套讲义：第4篇 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示

(2014·中山模拟)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA→→→的延长线交于圆O外一点D，若OC＝m OA＋n OB，则m＋n的取值范围是( )． A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－1,0)

→→

解析 由点D是圆O外一点，可设BD＝λ BA(λ＞1)，则 →→→→→OD＝OB＋λ BA＝λ OA＋(1－λ)OB.

→→

又C，O，D三点共线，令OD＝－μ OC(μ＞1)，

→1－λλ→1－λ→λλ则OC＝－μOA－μOB(λ＞1，μ＞1)，所以m＝－μ，n＝－μ，且m＋n＝－μ1－λ1

－μ＝－μ∈(－1,0)． 答案 D 二、填空题

→→→

3．(2014·南京质检)设OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b,0)，a>0，b>0，12

O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则a＋b的最小值为________． →→→→→→

解析 AB＝OB－OA＝(a－1,1)，AC＝OC－OA＝(－b－1,2)．∵A，B，C三点共线， →→∴AB∥AC.

∴2(a－1)－(－b－1)＝0， ∴2a＋b＝1.

12?12?∴a＋b＝?a＋b?(2a＋b)

??

b4a

＝4＋a＋b≥4＋2 b4aa·b＝8.

b4a11

当且仅当a＝b，即b＝2，a＝4时取等． 12

∴a＋b的最小值是8. 答案 8 三、解答题 4.

如图，已知点A(1,0)，B(0,2)，C(－1，－2)，求以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．

解 以A，B，C为顶点的平行四边形可以有三种情况： ①?ABCD；②?ADBC；③?ABDC. 设D的坐标为(x，y)，

→→

①若是?ABCD，则由AB＝DC，得 (0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x，y)， 即(－1,2)＝(－1－x，－2－y)， ?－1－x＝－1，∴?∴x＝0，y＝－4. ?－2－y＝2，

∴D点的坐标为(0，－4)(如题图中所示的D1)． →→

②若是?ADBC，由CB＝AD，得 (0,2)－(－1，－2)＝(x，y)－(1,0)， 即(1,4)＝(x－1，y)，解得x＝2，y＝4. ∴D点的坐标为(2,4)(如题图中所示的D2)． →→

③若是?ABDC，则由AB＝CD，得 (0,2)－(1,0)＝(x，y)－(－1，－2)，

即(－1,2)＝(x＋1，y＋2)．解得x＝－2，y＝0. ∴D点的坐标为(－2,0)(如题图中所示的D3)，

∴以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0，－4)或(2,4)或(－2,0).

学生用书

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