复合函数问题
题型一：复合函数求定义域
1、已知函数y=f(2x-1)的定义域为[-1，2]，则f(x) 的定义域为 2、根据题意，求下列函数的定义域：
（1）已知f(x)的定义域为(1,2) 求 f(2x?1)的定义域。
（2）若函数f(x?1)的定义域为[?3,3]，求函数f(?2x)的定义域。
11（3）若函数y?f(x)的定义域为[?1，1]，求函数y?f(x?)?f(x?)的定义域。
44
（4）已知函数f(x)的定义域是[0,4]，求函数f(x2)的定义域。
（5）若函数f(x)的定义域是[?2,4]，求函数F(x)?f(x)?f(?x)的定义域。
3.函数f（x）的定义域为［0，2］，则函数f（x+1）的定义域是( ) A.［-2，2］ B.［-1，1］ C.［0，2］ D.［1，3］
4、已知函数f(x)的定义域为（1，3），则函数F(x)?f(x?1)?f(2?x)的定义域。
5、若函数y＝f (x)的定义域是[－2, 4], 求函数g(x)＝f (x)＋f (1－x)的定义域
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6、若函数y?f(x)的定义域是[0,2]，求函数
g(x)?f(2x)x?1的定义域
7、函数y＝f (2x＋1)的定义域是(1, 3]，求函数y＝f (x)的定义域
8、函数f (2x－1)的定义域是[0, 1)，求函数f (1－3x)的定义域
题型二：复合函数求值域
方法一：直接法（针对一次函数、反比例函数、二次函数）
1、函数f(x)??x2?2x在区间[-3，4]上的最小值为 2、若函数y?123x?x?,x?[1,b]的值域也为[1,b],则b的值为 . 223、求下列函数的值域：
（1）y?x2?4x?6,x??1,5? （2）y?2??x2?4x
（3）y?3x2?x?2 （4）y?x2?2x?5,x?[?1,2] （5)y?x2?4x?5x?(1,4?
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4．设函数f(x)?x?x?21， 4（1）若定义域为[0，3]，求f(x)的值域；（2）若定义域为[a,a?1]时，f(x)的值域为[?11,]，求a的值. 216
5、已知函数y?x2?2x?3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( ) A、[ 1，+∞） B、[0，2] C、（-∞，2] D、[1，2]
方法二:换元法 1、求函数值域。
（1）y?2x?x?1 （2）y?2x?41?x
（3）y??x?1?2x （4)y?x?41?x
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方法三：分离常数法
1．求下列函数的值域 （1）y?23x?12x?1 （2） ③ y＝． y?(x?1)2x?32?xx?2 （4）y?
xx?13?x （5）f(x)＝（x≥0） （6）y?
x?11?2xx?2方法四：数形结合法
1. 函数y?|x?3|?|x?1| 有（ ）
A.最小值为0，最大值为4 B.最小值为-4，最大值为0
C.最小值为-4，最大值为4 D.没有最大值，也没有最小值
2、求函数的值域。
（1）y?|x?1|?|x?4| （2）y?x?1?x?3
（3） y?x?3?x?7
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方法五：判别式法
2x2?x?21、求函数y?2的值域
x?x?1
2、已知函数y?
ax?b的值域为[－1，4]，求常数a,b的值。 x2?1x2?3x?23.求函数y?2的值域
x?2x?3
2x2?bx?c(b?0)的值域为[1,3]，求实数b,c的值。 4、已知函数f(x)?x2?1
题型三：求函数解析式
1. 已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，f(bx)＝9x2－6x＋2，其中x∈R，a、b为常数，求f(ax＋b)的解析式．
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2.已知f(x)=
1(x∈R且x≠-1)，g(x)=x2+2（x∈R）. 1?x(1)求f(2)、g(2)的值; (2)求f［g(2)］的值; (3)求f［g(x)］的函数解析式
3．已知f (x)= x?2x，求f (x?1)的解析式．
4．已知f (x)= 2x?1， 求f (x)的解析式．
22
方法一：待定系数法
1、已知函数h?x??f?x??g?x?，其中f?x?是x的正比例函数，g?x?是x的反比例函数，且
?1?h???16，h?1??8，试求函数h?x?的解析式，并指出其定义域. ?3?
2、已知二次函数f(x)满足f(x?1)?f(x?1)?2x2?4x;求f(x)的解析式
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3、已知y=f(x)是一次函数，且有f [f(x)]=9x＋8，求此一次函数的解析式.
4.已知函数的解析式；
5、已知f?x?是二次函数，且f?0??0，f?x?1??f?x??x?1，求f?x?。
6、已知f(x)是一次函数，且满足3f(x?1)?2f(x?1)?2x?17，则f(x)= ； 7、已知二次函数f(x)满足f(3x?1)?9x2?6x?5，则f(x)= ；
8、已知f (x)是二次函数，且f?x?1??f?x?1??2x2?4x?4，求f (x)．
（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4，求函数f(x)
9. 已知二次函数f(x)满足f(0)?1，f(1)??1,f(?x)?f(?x).
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3232（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）若 F(x)=f(x)+m x在（2，+?）单调递增，求实数m的取值范围．
10. 已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上单调递减，求a的取值范围．
方法二：配凑法
1.已知f(x+1)=4x+3，则f(x)= .
2、已知f(x?1)?2x?5，则f(3)=
32、若函数g(x?2)?2x?3，则g(x)等于 4.若f(x)?2x?3，g(x?2)?f(x)，则g(x)的表达式为 （ ） A．2x?1 B．2x?1 C．2x?3 D．2x?7 5、设f(x－1)=3x－1，则f(x)=__ _______.
6、已知函数f(2x?1)?3x?2，且f(a)?4，则a?_________________； 7、已知函数f(2x?1)?3x?2，则f(x)= ； 8、f(2x)?(1?2x)(1?2x),则f(x)?____________）； 9、已知f(x?1)?x?1 ，则f(x)?__________________；
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1110、已知f(1?)?2?1，则f(x)?__________________；
xx1111、已知f(x?)?x2?2，则f(x)= ；
xxx2?11x?112.已知f（）= 2?，求f（x）的解析式.
xxx
13．已知f (x+1)＝x?2x?3，求f (x)的解析式．
2
1x14、已f ()=，求f(x)的解析式. W.w x1?x
方法三：消去法
1、设函数f（x）满足f（x）+2 f（
1）= x （x≠0），求f（x）函数解析式. x
.w.k.s.5.u.c.o.m
12、已知f(x)满足2f(x)?f()?3x，则f(x)= 。
x
3．已知f (x)?2 f (－x)＝x ，求函数f (x)的解析式．
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4．已知2 f (x)? f (?x)＝x＋1 ，求函数f (x)的解析式．
5．已知2 f (x)?f ?
6、 已知2f(x)?f()?x,x?R且x?0.
?1??＝3x ，求函数f (x)的解析式． x??1x（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）判断f(x)在（—?，—
22）和 （，+?）上的单调性。 22
7．设对任意数x，y均有f?x?y??2f?y??x?2xy?y?3x?3y，
22求f（x）的解析式． （ 赋值法 / 特殊值法）
题型四：复合函数单调性
复合函数的单调性的复合规律为：若函数y=f(u)与u=g(x)的增减性相同(相反)，则y=f[g(x)]是增(减)函数，可概括为“同增异减” .
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一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型：
1、已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是( )
(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) 2、判断函数单调性 log2x（1)y=3
（2）
(3)
二、外函数只有一种单调性，而内函数有两种单调性的复合型：
1、函数y=log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数？
2 、求下列复合函数的单调区间：
1x2?2x?1 （1） y=log13 (2x－x2
) （2）y=(2)
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(D).[2，+∞)
122
（3） y=log3(x－2x) （4）y=log2(x－3x+2)
（5）y=?x?5x?6 （6）y=0.7
21x
（7）y=2
3?x21()x?3 （8）y=3
（9）
三、外函数与内函数都有两种单调性的复合型：
1、 已知函数f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x) ( )
(A).在区间(-1，0)上是减函数； (B).在区间(0， 1)上是减函数； (C).在区间(-2，0)上是增函数； (D).在区间(0， 2)上是增函数.
指数型复合函数
一、指数型复合函数的两个基本类型：y?f(a)与y?a二、定义域与值域
A、求下列函数的定义域与值域
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xf(x)
（1）y?2
1x?42x?1 （2）y?x
2?3B、求下列函数的值域
?1? （1）y????2?
x2?4x?1?y?1??? （2）
?2?x
C、求函数y?()x?()x?1在x???3,2?上的值域。
D：求下列函数的值域 1）
三、单调性（判断复合函数单调性的基本口诀：同增异减）
1412y?2x2?1?1? 2）y????2?x2?1?1?y??? 3）
?2?x2?2x
?1?例：求函数y????2?
x2?4x的单调区间
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x2?2x?3A、求函数y???3??2??的单调递减区间________
x2?5x?6B、求函数y???2??3??的单调递增区间________
C、求函数y?ax2?2x?3的单调递增区间
四、指数型复合函数的奇偶性问题(利用奇偶性的定义与性质解决问题)
A、以下函数是奇函数的是（ ） ①f(x)?2?x ②f(x)?2x?2?x ③f(x)?2x?2?x B、若f(x)?12x?1?a是奇函数，则a?______ C、已知f(x)?(12x?1?12)x(1)求函数的定义域
（2）判断f(x)的奇偶性 第 14 页 共 14 页
④f(x)??3x?3?3x
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