CMAB
18．解析：（1）记A1CIAC1?O，连结BO．因为AB?BC1，所以BO?AC1． 由题意知△ACC1为正三角形，求得CO?3，在△ABC1中求得BO?3，又BC?6，
222所以BC?CO?BO，所以BO?CO．因为COIAC1?O，所以BO?平面AAC11C．
因为BO?平面ABC1，所以平面ABC1?平面AAC11C．………………………………6分 （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,1,0),C1(0,?1,0),C(?3,0,0),B1(3,?1,3)，
uuuruuurAC?(0,?2,0),AB1?(3,?2,3)．
ur因为BO?平面AAC11C，所以平面AAC11C的法向量为m?(0,0,3)． r设平面AB1C1的法向量为n?(x,y,z)，则
ruuur?n?AC??2y?0?，取x?1，则?ruuur??n?AB1?3x?2y?3z?0y?0,z??1，
r所以n?(1,0,?1)．
urrurrm?n?32??所以cosm,n?u，因为所求二面角的平面角为钝角， rr?23?2m?n所以所求二面角B1?AC1?C的余弦值为?2．………………………………………………12分 2zB1C1OA1ABCxy
19．解析：（1）抽取产频质量指标值的样本平均数为：
x?90?0.02?100?0.09?110?0.22?120?0.33?130?0.24?140?0.08?150?0.02?120，
抽取产品质量指标值的方差为：
?2?900?0.02?400?0.09?100?0.22?0?0.33?100?0.24?400?0.08?900?0.02?150，
因为l～N(120,150),??150?12.2，
1?P(??l≤???)?P(120?l≤132.2)??0.6826?0.3413,2
1P(??l≤??2?)?P(120?l≤144.4)??0.9544?0.4772,2P(132.2?l?144.4)?P(120?l≤144.4)?P(120?l≤132.2)?0.1359．………………6分
（2）由频数分布表得：P(l?115)?0.02?0.09?0.22?0.33,p(l≥115)?1?0.33?0.67． 随机变量?的取值为90,?30，且P(??90)?0.67,P(??30)?0.33． 则随机变量?的分布列为：
? P 90 0.67 ?30 0.33 所以E??90?0.67?30?0.33?50.4． ……………………………………………………………12分
20．解析：（1）由题意知F1(?1,0),F2(1,0)． 直线PF1的方程为y?0?y0?0(x?1)，即y0x?(x0?1)y?y0?0， x0?1y0?0(x?1)，即y0x?(x0?1)y?y0?0． x0?1直线PF2的方程为y?0?由点M??1?,0?到PF1和PF2的距离相等，得?222??y0?(x0?1)1y0?y021y0?y02y?(x0?1)202． （*）
其中2y0?(x0?1)2?1?122x0?(x0?1)2?x0?2， 222y0?(x0?1)2?1?122x0?(x0?1)2?x0?2，且?2?x0?2． 22
所以（*）式可化为分
（2）定值为2，即
31?，解得x0?1．……………………………………………………4x0?22?x0x0?2． my0?0(x?m)，令x?0，并考虑x0?2m，得y??y0． x0?m直线PM的方程为y?0?所以点N的坐标为(0,?y0)，从而过F1、N的直线l的方程为y?0?0?y0(x?1)，即?1?0y??y0(x?1)，
x222)y2?2y0y?y0?0．设C(x1,y1),D(x2,y2)， ?y2?1，消去x，得(1?2y0代入
22?2y0?y0则y1?y2?． ,y1y2?221?2y01?2y0222??2y0?4y08y0(y0?1)2所以y1?y2?(y1?y2)?4y1y2??， ??2?2221?2y1?2y(1?2y)0?00?228y0(y0?1)1?F1F2?y1?y2?． 222(1?2y0)2所以S△F2CD2222??8y0(y0?1)2[(1?2y0)?1]1??21?因为，其中y0?0,y0??1， ?222222?(1?2y0)(1?2y0)?(1?2y0)???1614?所以0?y?1,1?1?2y?3,0?2?1?，所以， 0?S?△F2CD22?3(1?2y)90??2020所以△F2CD面积的取值范围为?0,?．………………………………………………………………12分 ??4?3?PCF1OND MF2
21．解析：当a??1时，f(x)?lnx?1213x?x?，f(1)?0． 424111x2?x?2(x?2)(x?1)f?(x)??x?????．当x?1时，f?(x)?0；当0?x?1时，
x222x2xf?(x)?0．
在(0,1)单调递增，在(1,??)单调递减．………………………………………………4分
111ax2?x?21213（2）因为f(x)?lnx?ax?x?，所以f?(x)??ax??．
x222x424因为f(x)存在两个极值点，所以ax?x?2?0在(0,??)有两根．
2?a?0112所以?，所以0?a?，且x1?x2?,x1x2?．
8aa???1?8a?0112(lnx1?lnx2)?a(x12?x2)?(x1?x2)f(x1)?f(x2)lnx1?lnx2142???． 因为
x1?x2x1?x2x1?x24?x?2?1?1?f(x1)?f(x2)lnx1?lnx212x?x2?． ?2a?，只需证?2a?要证，即证ln1?x1x1?x24x1?x2x1?x2x2?1x2令
x12(t?1)?t?1，只需证lnt?． x2t?114(t?1)22(t?1)?≥0， 令g(t)?lnt?,g(1)?0，所以g?(t)??t(t?1)2t(t?1)t?1所以g(t)在(1,??)单调递增，因为t?1，所以g(t)?g(1)，即lnt?所以，
2(t?1)?0． t?1f(x1)?f(x2)1?2a?．
x1?x24222．解析：（1）C1的普通方程为x?y?3?0，由??4cos?，得??4?cos?，
又因为??x?y,?cos??x，所以C2的直角坐标方程为x?y?4x?0．……………………4分
（2）原点O到直线x?y?3?0的距离d?22222322，C2的标准方程为(x?2)?y?4，表示圆心为 2
C2(2,0)，半径r?2的圆．C2到直线x?y?3?0的距离d2?2AB?2r2?d2?14．
32，所以2所以S△OAB?分 411337．………………………………………………………10ABd??14??222232A1O12C246810B2 323．解析：（1）当a?1时，不等式f(x)≥3化为x?1?x≥3． 4当x??1时，?x?1?x≥3，解得x≤?2，所以x≤?2； 当?1≤x≤0时，x?1?x≥3,1≥3，无解； 当x≥0时，x?1?x≥3，解得x≥1，所以x≥1．
所以，不等式f(x)≥3的解集为(??,?2]U[1,??)．…………………………………………………4分
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥x?2化为x?1?ax?a?1≥x?2，即ax?a?1≥1． 由ax?a?1≥1，得ax?a?1≤?1或ax?a?1≥1，即a(x?1)≤?2或a(x?1)≥0． 当x≥1时，不等式a(x?1)≤?2不恒成立；
当x≥1时，若不等式a(x?1)≥0恒成立，则a≥0．
所以，所求a的取值范围为[0,??)．…………………………………………………………10分
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