2020年新高考双重自测卷
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
1．对任意x?M，总有x2?M且x?M，若M??0,1,2,3,4,5?，则满足条件的非空集合M的个数是（ ）
A．11
B．12
C．15
D．16
2．已知z?C，z?i?z?i?2，则z对应的点Z的轨迹为（ ） A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．线段
3．已知p:ln2?ln9?ln3?lna，q:函数f?x??lnx?a在(0,e4]上有2个零点，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知向量a?(1,2)，b?(?2,1)，c?(x,y)，若(a?b)?c，则b在c上的投影为（ ）
A．?102 B．?105 C．102 D．?105 5．已知a?log0.3,b?0.30.2,c?0.20.33，则（ ）
A．a?b?c B．a?c?b C．c?a?b D．b?c?a
6．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c，当且仅当a>b,b ，且a,b,c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是（ ） A． B． C． D． ．已知双曲线C:x2a?y272b2?1(a?0,b?0)的两个焦点分别为F1,F2，以F1F2为直径的圆交双曲线C于P,Q,M, N四点，且四边形PQMN为正方形，则双曲线C的离心率为（ ） A．2?2 B．2?2 C．2?2 D．2?2 8．已知定义是R上的偶函数f?x?在?0,???上递增，记函数g?x??xf?x?，对于如下两个命题：①存在函数f?x?，使函数g?x?在R上递增；②存在函数f?x?，使函数g?x?在R上递减.下列判断正确的是（ ） A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。 9．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1+5a3＝S8，下列选项正确的有（ ） A．a10?0 B．S7?S12 C．S10最小 D．S20?0 10．若x?y，则下列不等式中正确的是（ ） A．2x?2y B． x?y2?xy C．x2?y2 D．x2?y2?2xy 11．已知函数f?x??sin?3x????????2?????2??的图象关于直线x??4对称，则（ ） A．函数f???x???12??为奇函数 B．函数f?x?在??????12,3??上单调递增 C．若f?x，则x?1??f?x2??21?x2的最小值为3 D．函数f?x?的图象向右平移 ?4个单位长度得到函数y??cos3x的图象 12．如图,在棱长均相等的四棱锥P?ABCD中, O为底面正方形的中心, M,N分别为侧棱PA,PB的中点,有下列 结论正确的有：( ) A．PD∥平面OMN B．平面PCD∥平面OMN C．直线PD与直线MN所成角的大小为90o D．ON?PB 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知cos???725,??(π,2π) ，则sin??cos?? __________． 14．已知在平行四边形ABCD中，uBEuur2?ur21uuuruuuuuruuur3BC,AE?xBD?yBC，则x?y?_______. 15．一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球.甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球，规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是________. 16．正方形ABCD的边长为2，点E,F分别在边AB,BC上，且AE?1,BF?12，将此正方形沿DE,DF折起，使点A,C重合于点P，则三棱锥P?DEF的体积是____________； 四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知正项等差数列{an}满足a2?a5?9，a3ga4?20，等比数列{bn}的前n项和Sn满足Sn?2n?c，其中c是常数． （1）求c以及数列{an}、{bn}的通项公式； （2）设cn?anbn，求数列{cn}的前n项和Tn． 18．?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知asinA?C2?bsinA． （1）求B； （2）若?ABC为锐角三角形，且c?1，求?ABC面积的取值范围． 19．如图1所示，在直角梯形DCEF中，DFPCE，FD?DC，AB∥CD，BE?AB?2AF?2AD?4，将四边形ABEF沿AB边折成图2. （1）求证：ACP平面DEF； （2）若EC?23，求平面DEF与平面EAC所成锐二面角的余弦值. 20．已知点A(0，－2)，椭圆E：x2y23a2?b2?1 (a>b>0)的离心率为2，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233， O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 21．某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提出了甲、乙两个改进方案：甲方案是引进一台新的生产设备，需一次性投资1900万元，年生产能力为30万件；乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投入700万元，年生产能力为20万件.根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产设备还是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为15元/件（不含一次性设备改进投资费用）. （1）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立. ①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率： ②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该服装厂应选择哪个方案.（6年的净利润=6年销售利润-设备改进投资费用） 22．已知f?x??kx?sin2x?asinx(k,a为实数)． ?1?当k?0，a?2时，求f?x?在?0,??上的最大值； ?2?当k?4时，若f?x?在R上单调递增，求a的取值范围．
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