2020高考数学（文）刷题首选卷：简单的三角恒等变换（含解析）

1

∴tanθ＝－，

7

πtanθ－14

∴tanθ－＝＝－．

41＋tanθ3πππ

解法二：∵θ＋＋－θ＝，

442ππ3

∴sinθ＋＝cos－θ＝，

445π

又2kπ－＜θ＜2kπ，k∈Z，

2πππ

∴2kπ－＜θ＋＜2kπ＋，k∈Z，

444π4π4

∴cosθ＋＝，∴sin－θ＝，

4545π

sin－θ4π4

∴tan－θ＝＝，

4π3

cos－θ4ππ4

∴tanθ－＝－tan－θ＝－．

443解法三：∵θ是第四象限角， π

∴2kπ－＜θ＜2kπ，k∈Z，

2πππ

∴2kπ－＜θ＋＜2kπ＋，k∈Z，

444π3π4

又sinθ＋＝，∴cosθ＋＝，

4545πtanθ－1

∴tanθ－＝ 4tanθ＋1

π4－cos＋θ－

45sinθ－cosθ4

＝＝＝＝－． sinθ＋cosθπ33

sin＋θ45三、模拟小题

ππ

13．(2018·河北衡水中学测试)若α∈，π，且3cos2α＝sin－α，则sin2α的

24值为( )

111717

A．－ B． C．－ D．

18181818答案 C

π22

解析 由3cos2α＝sin－α可得3(cosα－sinα)＝

4

2π

(cosα－sinα)，又由α∈，π可知cosα－sinα≠0，于是3(cosα＋sinα)22＝

2117

，所以1＋2sinαcosα＝，故sin2α＝－．故选C． 21818

431114．(2018·河南信阳一模)已知α，β均为锐角，且sinα＝，cos(α＋β)＝－，

714则β等于( )

ππππ

A． B． C． D． 34612答案 A

431解析 ∵α为锐角且sinα＝，∴cosα＝．

77

11

∵α，β均为锐角，∴0<α＋β<π．又∵cos(α＋β)＝－，

14∴sin(α＋β)＝

53

．∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋14

β)sinα＝－×＋

111415343－11＋601π

×＝＝．又∵β为锐角，∴β＝．故选A．

71479823

3

15．(2018·河南濮阳一模)设0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－，则sin(15°＋

5

α)sin(75°－α)＝( )

1212A． B． C．－ D．－ 10201020答案 B

3解析 因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°．又因为sin(75°＋2α)＝－

5<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－41

．所以sin(15°＋α)sin(75°－α)＝sin(15°＋α)cos(15°＋α)＝sin(30°＋2α)521

＝sin[(75°＋2α)－45°]＝ 2

1132422[sin(75°＋2α)cos45°－cos(75°＋2α)sin45°]＝×－×＋×＝，故22525220选B．

1116．(2018·湖南湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log 23

5

tanαtanβ

2

等于( )

A．2 B．3 C．4 D．5 答案 C

11

解析 由sin(α＋β)＝，得sinαcosβ＋cosαsinβ＝，①

2211

由sin(α－β)＝，得sinαcosβ－cosαsinβ＝，②

3351

由①②可得sinαcosβ＝，cosαsinβ＝．

12125

tanαsinαcosβ12所以＝＝＝5．

tanβcosαsinβ1

12所以log

5

tanα2

＝log tanβ5

25＝4，故选C．

17．(2018·河北、河南两省重点中学4月联考)已知atanα＋b＝(a－btanα)tanβ，πb且α＋与β的终边相同，则的值为( )

6aA．23223 B． C． D． 3334

答案 B

解析 已知等式可化为atanα＋b＝atanβ－btanαtanβ，即b(1＋tanαtanβ)＝

btanβ－tanαπ

a(tanβ－tanα)，∴＝＝tan(β－α)，又∵α＋与β的终边相同，即

a1＋tanαtanβ6β＝2kπ＋α＋(k∈Z)，∴tan(β－α)＝tan2kπ＋＝tan＝

18．(2018·湖北八校第一次联考)已知3π<θ<4π，且则θ＝( )

10π11π37π47π

A．或 B．或

33121213π15π19π23πC．或 D．或

4466答案 D

3πθ解析 ∵3π<θ<4π，∴<<2π，

22∴cos>0，sin<0，

22

π

6

π6

π6

3b3，即＝，故选B． 3a3

1－cosθ6

＝，22

1＋cosθ＋2

θθ

∴

1＋cosθ＋21－cosθ＝2

cos

2

θ2

＋sin

2

θ2

＝cos

θ2

－sin

θ2

＝2cos

θ2

＋

π6θπ3θππθππ

＝，∴cos＋＝，∴＋＝＋2kπ，k∈Z或＋＝－＋2kπ，k∈Z，42242246246π5π

即θ＝－＋4kπ，k∈Z或θ＝－＋4kπ，k∈Z，

66

19π23π又∵3π<θ<4π，∴θ＝或．故选D．

66

一、高考大题

1．(2015·广东高考)已知tanα＝2． π

(1)求tanα＋的值；

4

sin2α(2)求2的值．

sinα＋sinαcosα－cos2α－1解 (1)因为tanα＝2，

π

tanα＋tan

4π2＋1

所以tanα＋＝＝＝－3．

4π1－2×1

1－tanα·tan

4(2)因为tanα＝2，

sin2α所以2 sinα＋sinαcosα－cos2α－1＝＝

2sinαcosα

sinα＋sinαcosα－?cos2α＋1?

22sinαcosα 2

sinα＋sinαcosα－2cosα2