2020高考数学热点问题分层特训卷
热点(四) 数列中的奇偶分类和最值
1．(偶数项)已知等差数列{an}的前9项和为27，a10＝8，则a100＝( ) A．100 B．99 C．98 D．97 答案：C
解析：设等差数列{an}的公差为d，因为{an}为等差数列，且S9＝9a5＝27，所以a5＝3.又a10＝8，所以5d＝a10－a5＝5，所以d＝1，所以a100＝a5＋95d＝98，故选C.
2．(项数的最值)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a1＝2，a1＋a4＝a5，若Sn>32，则
n的最小值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6 答案：D
解析：由a1＝2且a1＋a4＝a5，可得公差d＝2，因此S5＝30，S6＝42，即S6>32，故选D.
3．(奇数项和)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2 017
的值为( )
A．2 017 B．2 016 C．1 009 D．1 007 答案：C
解析：因为an＋2Sn－1＝n，n≥2，所以an＋1＋2Sn＝n＋1，n∈N，两式相减得an＋1＋an＝1，
*
n≥2.又a1＝1，所以S2 017＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2 016＋22 017)＝1 009，故选C.
4．(项数的最值问题)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a8<0，且a9>|a8|，则使Sn>0成立的最小正整数n为( )
A．15 B．16 C．17 D．18 答案：B
解析：因为a8<0，且a9>|a8|，所以此等差数列从第一项到第八项都是负数，从第九项开始是正数，由于a8＋a9＝a7＋a10＝…＝a1＋a16，a8＋a9>0，a8<0，所以使Sn>0成立的最小正整数n＝16，故选B.
1
5．(数列中奇偶分类问题)已知数列{bn}满足b1＝1，b2＝4，bn＋2＝?1＋sincos
2
??
2
nπ?
2?
?bn＋
nπ
2
，则该数列的前23项的和为( )
A．4 194 B．4 195 C．2 046 D．2 047 答案：A
解析：b1＝1，b2＝4，bn＋2＝?1＋sin
??
2
nπ?nπ?bn＋cos2，
2?
2
当n为奇数时，bn＋2＝2bn，数列为以2为公比的等比数列， 当n为偶数时，bn＋2＝bn＋1，数列为以1为公差的等差数列，
1－211×?11－1?
∴前23项和S23＝(b1＋b3＋…＋b23)＋(b2＋b4＋…＋b22)＝＋11×4＋1－22×1＝2－1＋44＋55＝4 194，故选A.
6．(奇数项和)已知等差数列{an}中，an≠0，若n≥2且an－1＋an＋1－an＝0，S2n－1＝38，则n等于________．
答案：10
解析：∵{an}是等差数列，∴2an＝an－1＋an＋1，又∵an－1＋an＋1－an＝0，∴2an－an＝0，即
2
2
2
12
12
an(2－an)＝0.∵an≠0，∴an＝2，
∴S2n－1＝(2n－1)an＝2(2n－1)＝38，解得n＝10.
7．(范围问题)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，
Sn取得最大值，则d的取值范围为________．
7??答案：?－1，－?
8??
d<0，??
解析：由题意可得?a8>0，
??a9<0，
d<0，??
即?7＋7d>0，??7＋8d<0，
7
解得－1 8 8．(奇偶项和)一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则等比数列的项数为________． 答案：8 解析：由题意可知公比q＝2，设该数列为a1，a2，a3，…，a2n， 则an＋an＋1＝24，又a1＝1，∴qn－1 ＋q＝24，即2 nn－1 ＋2＝24， n解得n＝4，∴等比数列的项数为8. 9．(和的最值问题)已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N)，前n项和为Sn，且a3＝1 10，S6＝72，若bn＝an－30，设数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值． 2 2 * 解析：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴an＋1－an＝an＋2－an＋1，故数列{an}为等差数列．设数列{an} ??a1＋2d＝10， 的公差为d，由a3＝10，S6＝72得? ??6a1＋15d＝72， ?bn≤0，?1 则bn＝an－30＝2n－31，令? 解得a1＝2，d＝4.故an＝4n－2， 则? ?2n－31≤0，? 2931 解得≤n≤， 2??bn＋1≥0， ??2n＋2－31≥0， 22 ∵n∈N* ，∴n＝15，即数列{bn}的前15项均为负值，∴T15最小． ∵数列{b15×14 n}的首项为－29，公差为2，∴T15＝－29×15＋2×2＝－225， ∴Tn的最小值为－225. 10．[2019·湖南省联考]设Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1,2Sn＝5－3an＋1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设b(－1)nlog1n＝3an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解析：(1)当n＝1时，2S1＝5－3a2＝2a1＝2，求得a1＝a2＝1. 当n≥2时，2Sn＝5－3an＋1,2Sn－1＝5－3an，则2Sn－2Sn－1＝(5－3an＋1)－(5－3an)， 整理得2an＝3an＋11 n－3an＋1，即 aa＝， n3 可知数列{a项起为等比数列，且a1 n}从第22＝1，公比为3 ， 即当n≥2时，a＝??1?n－2 n?3?? . 易知a1＝1不满足上式， 所以数列{an}的通项公式为 ?1a? ，n＝1，n＝?????1??n－2 3??，n≥2，n∈N*. (2)由(1)得b? 0，n＝1，n＝? ????－1?n?n－2?，n≥2，n∈N* ， 则当n≥2时，T＝0＋0－1＋2－3＋4－…＋(－1)nn(n－2)． 当n为偶数时，Tn＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(n－3)＋(n－2)]＝n－2 2 ； 当n为奇数时，T－3 n＝ n2－(n－2)＝1－n2 ，且当n＝1时，满足该式． 综上可得，数列{bn}的前n项和 3 1－n??2，n为奇数，T＝?n－2 ??2，n为偶数. n 4
相关推荐：
loading