专题14 数学方法的应用
考题一 常用的数学知识
1.罗列物理中常用数学方法，熟悉其内容及其变形. 2.熟悉数学在物理题中应用的特点.
3.理解物理公式或图象所表示的物理意义，不能单纯地从抽象的数学意义去理解物理问题，防止单纯从数学的观点出发，将物理公式“纯数学化”的倾向.
例1 如图1所示，AB是竖直平面内圆心为O、半径为R的圆上水平方向的直径，AC是圆上的一条弦.该圆处在某一匀强电场中，电场线与圆平面平行，将一质量为m、电荷量为q的带正电小球从圆周上A点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，小球会经过圆周上的不同点，若到达C点时小球的动能最大，已知∠BAC＝α＝30°，重力加速度为g，则电场强度E的最小值为( )
1
图1
A. 2qC.
3mg 2qmg
B.D.
mg q3mg
q解析 小球到达C点动能最大，说明C点是重力场和电场形成的复合场中的等效最低点，即重力和电场力的合力沿OC方向，对小球受力分析，如图所示，
1
利用矢量三角形可知：当电场力垂直于OC时，电场力最小，Fmin＝mgsin 30°＝mg，即Emin
2＝，A正确.故选A. 2q答案 A 变式训练
1.如图2所示，在斜面上有四条光滑细杆，其中OA杆竖直放置，OB杆与OD杆等长，OC杆与斜面垂直放置，每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，四个环分别从O点由静止释放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上所用的时间依次为t1、t2、t3、t4.下列关系不正确的是( )
mg
图2
A.t1>t2 C.t2＝t4 答案 C
解析 以OA为直径画圆建立等时圆模型，小滑环受重力和支持力，由牛顿第二定律得：a＝
B.t1＝t3 D.t2 gcos θ(θ为杆与竖直方向的夹角) 2 由图中的直角三角形可知，小滑环的位移x＝2Rcos θ 12 由x＝at，得：t＝ 2 2x＝2 aRcos θ＝2 gcos θR，t与θ无关，可知从圆上最高点沿任意g一条弦滑到底端所用时间相同，故沿OA和OC滑到底端的时间相同，即t1＝t3，OB不是一条完整的弦，时间最短，即t1＞t2，OD长度超过一条弦，时间最长，即t2＜t4.故A、B、D正确，C不正确，因本题选不正确的，故选C. 2.如图3所示，穿在一根光滑固定杆上的小球A、B通过一条跨过定滑轮的细绳连接，杆与水平面成θ角，不计所有摩擦，当两球静止时，OA绳与杆的夹角为θ，OB绳沿竖直方向，则下列说法正确的是( ) 图3 A.A可能受到2个力的作用 B.B可能受到3个力的作用 C.A、B的质量之比为tan θ∶1 D.A、B的质量之比为1∶tan θ 答案 D 解析 对A球受力分析可知，A受到重力、绳子的拉力以及杆对A球的弹力，三个力的合力为零，故A错误；对B球受力分析可知，B受到重力、绳子的拉力，两个力合力为零，杆对B球没有弹力，否则B不能平衡，故B错误；分别对A、B两球受力分析，运用合成法，如图，根据共点力平衡条件，得：FT＝mBg 3 根据正弦定理得：＝ sin θsin FTmAg90°＋θ 因定滑轮不改变力的大小，故绳子对A的拉力等于对B的拉力，得mA∶mB＝1∶tan θ，故C错误，D正确，故选D. 3.如图4所示，将两个质量均为m，带电荷量分别为＋q、－q的小球a、b，用两细线相连并悬挂于O点，置于沿水平方向的匀强电场中，电场强度为E，且Eq＝mg，用力F拉小球a，使整个装置处于平衡状态，且两条细线在一条直线上，则F的大小可能为( ) 图4 A.3mg C.mg 答案 A 解析 先分析b的平衡：由于Eq＝mg，所以两线与竖直方向夹角为45°.再分析整体平衡：两电场力抵消，转变成典型的三力平衡问题，画矢量三角形如图所示， 1B.mg 2D.2mg 2 F的最小值Fmin＝2mgsin 45°＝2mg，则应满足F≥2mg，故A正确. 4.物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需要通过一定的分析就可以判断结论是否正确.如图5所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为R1和R2的圆环，两圆环上的电荷量均为q(q>0)，而且电荷均匀分布.两圆环的圆心O1和O2相距为2a，连线的中点 4
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