1 病态矩阵
1.1概念----与奇异阵的区别
病态矩阵是指求解方程组时对数据的小扰动很敏感的矩阵。解线性方程组
[1]
Ax=b时，若对于系数矩阵A及右端项b的小扰动δA、δb,方程组(A+δA)χ=b+δb的解χ与原方程组Ax=b的解差别很大，则称矩阵A为病态矩阵。 方程组的近似解χ一般都不可能恰好使剩余r=b-Aχ为零，这时χ亦可看作小扰动问题Aχ=b-r(即δA=0，δb=-r)的解,所以当A为病态时,即使剩余很小,仍可能得到一个与真解相差很大的近似解。 奇异阵就是行列式为零的矩阵。
1.2判断
A的最小奇异值可以衡量 A与奇异值矩阵集合相距有多远[2]。【区别奇异值与特征值：方阵才有特征值】 条件数cond A
= A ? A?1 ，当该式范数为欧氏范数时，
σmaxσmin
cond A =
，越大则病态程度越严重
可以使用matlab中的cond函数来判断，用法 c = cond(X)；
norm函数也可以，即条件数的第一种定义；
已经在matlab中验证条件数为1e8数量级的病态矩阵，用以上cond（）或norm（）的方法结果一致。见附录程序一。 反演程序中，cond(K)= 2.6073e+09
2 矩阵除法及线性方程组的解
2.1 逆矩阵inv（）
在线性代数中，没有除法，只有逆矩阵。矩阵除法是MATLAB从逆矩阵的概念引申来的。先介绍逆矩阵的定义，对于任意n′n阶方阵A，如果能找到一个同阶的方阵V，使 AV=I
其中，I为n阶的单位矩阵eye(n)。则V就是A的逆阵。数学符号表示为 V＝A-1
逆阵V存在的条件是A的行列式det(A)不等于0，V的最古典的求法为高斯消去法，可参阅线性代数书。MATLAB已把它做成了内部函数inv，输入
V=inv(A)
就可得到A的逆矩阵V。如果det(A)等于或很接近于零，MATLAB会显示出出错或警告信息： “A矩阵病态（ill-conditioned），结果精度不可靠”。 【病态矩阵：由于计算机软硬件的原因（精度、舍入误差什么的）对矩阵求解造成很大的误差】 注意：
1.求解方程组时很少直接采用inv（），而是用左除，无论是执行时间还是数值精度上都要优于直接求逆。
2.inv（A）中A必须为方阵，方阵才具有逆矩阵。
2.2 左除\和右除\
现在来看方程D*X=B，设X为未知矩阵，在等式两端同时左乘以inv(D)，即 inv(D)*D*X = inv(D)*B 等式左端inv(D)*D=I，而I*X=X，因此，上式成为 X = inv(D)*B = D\\B
把D的逆阵左乘以B，MATLAB就记作D\\，称之为“左除”。从D*X=B的阶数检验可知，B与D的行数相等，因此，左除时的阶数检验条件是：两矩阵的行数必须相等。 如果原始方程的未知矩阵在左而系数矩阵在右，即 X*D = B 则按上述同样的方法可以写出
X = B*inv(D) = B/D
把D的逆阵右乘以B，记作/D，称之为“右除”。同理，右除时的阶数检验条件是：两矩阵的列数必须相等。
6x=3 3x=6 6\\3=0.5 6/3=2
2.3 常定、超定与欠定方程组
矩阵除法可以用来方便地解线性方程组。例如要求下列方程组的解x=[ x1; x2; x3]。 6 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3 -2 x1 + 5 x2 + 7 x3 = -4 8 x1 - 4 x2 - 3 x3 = -7
此式可写成矩阵形式 Ax=B，求解的MATLAB程序为 A = [6，3，4；-2，5，7；8，-4，-；B = [3；-4；-；x = A\\B 得 x = 0.6000 7.0000 -5.4000
MATLAB中的除法还可以用来解方程数不等于未知数个数的情况。比如再加上一个方程 x1+5 x2 -7x3 = 9 这时系数矩阵A1的阶数为4′3。不难看出A1的行数nA1是方程数，其列数mA1是未知数的个数，nA1>mA1，说明方程组是超定的，方程无解。照样列MATLAB程序
A1 = [6，3，4；-2，5，7；8，-4，-3；1，5，-；B1 = [3；-4；-7；；x1 = A1\\B1 答案为 x1 = -0.1564 1.0095 -0.6952
它并未显示出错信息，却给出了解，这怎么可能呢？实际上，这时MATLAB给出的是最小二乘解。把这个x1代入方程组，肯定任何一个方程都不满足，都可得出1个误差，把这4个误差的平方相加开方，称为均方差。解x1保证比其他任何解所得的均方差都小。
MATLAB中的除法还可以用来解方程数少于未知数个数的情况，A1矩阵的nA1 3 为什么不直接得x=A+b？ 这个问题实际上是问为什么不用matlab中的A\\b？反演遇到的一般为超定方程，从2.3节超定方程组分析看出，用matlab直接得出的解使残差r=||b-Ax||最小；当遇到A为严重病态时，由1.1节，r最小仍可能得到一个与真值相差很大的近似解。 4 信噪比的定义 ? ）的标准差[3]。 （1）SNR定义为第一个回波的幅度值除以误差矢量r（r?b?Ax（2）SNR定义为采集回波串获取的首个数据y(t1) 除以测量误差的标准差[4]。 n?1m?SNR?y(t1)/y(t)?f(T)exp(?t/T)??i?2ji2j? mi?1?j?1?2（3）\程序提出，信噪比定义为第三个回波幅度除以噪声的标准差。 5 回波串累加法提高信噪比 由于 NMR 信号强度随着累加次数?增加?倍，噪声是随机的，它只能增加因此?次累加后，信噪比 SNR（ signal-to-noise）增加?倍。?倍。当我们把数据累加 100 次， SNR就增加了 10 倍。这也是目前运用最广的提高核磁共振回波串信噪比的方法。 将多次测量的回波串信号进行累加，得到适合的信噪比 。另外，对于长T2分量，由于其衰减得很慢，单次测量有时会漏掉这类信息，增加回波串个数，经过多次累加后，增强了对衰减慢的长T2分量的分辨能力。 参考文献 [1] 百度百科-病态矩阵http://baike.http://www.china-audit.com//view/1728471.htm [2] 王丽丽. 低场脉冲 NMR 横向弛豫信号解谱算法研究[D]. 中国科学院研究生院 (电工研究所), 2006. [3] 王为民, 李培. 核磁共振驰豫信号的多指数反演[J]. 中国科学: A 辑, 2001, 31(8): 730-736. [4] 陈圆. 核磁测井 T_2 谱分布反演算法研究[D]. 华中科技大学, 2009. 附录 程序一 >> A=[1.2969 0.8648;0.2161 0.1441] A = 1.2969 0.8648 0.2161 0.1441 >> b=[0.8642;0.1440] b = 0.8642 0.1440 >> cond(A) ans = 2.4973e+08 >> det(A) ans = 1.0000e-08 >> norm(A) ans = 1.5803 >> lamda=eig(A) lamda = 1.4410 0.0000 >> inv(A) ans = 1.0e+08 * 0.1441 -0.8648 -0.2161 1.2969 >> norm(inv(A))*norm(A) ans = 2.4973e+08 >> x=inv(A)*b x = 2.0000 -2.0000 >> x1=A\\b x1 = 2.0000 -2.0000
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