F单元 平面向量
F1 平面向量的概念及其线性运算 5、、[2014·辽宁卷] 设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0，命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( )
A、p∨q B、p∧q
C、(綈p)∧(綈q) D、p∨(綈q)
5、A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题、故p∨q为真命题、
→1→→→
15、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB2→
与AC的夹角为________、
15、90° [解析] 由题易知点O为BC的中点，即BC为圆O的直径，故在△ABC中，BC对应的角A为直角，即AC与AB的夹角为90°.
7、[2014·四川卷] 平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝( )
A、－2 B、－1 C、1 D、2
a·cb·c＝，即
|a|·|c||b|·|c|
（1，2）·（m＋4，2m＋2）（4，2）·（m＋4，2m＋2）8m＋20
＝，即5m＋8＝，解得m＝2222
7、2 [解析] c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，由题意知
1＋2
4＋2
2
2.
F2 平面向量基本定理及向量坐标运算
4、[2014·重庆卷] 已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )
9
A、－ B、0
215
C、3 D.
2
4、C [解析] ∵2a－3b＝2(k，3)－3(1，4)＝(2k－3，－6)，又(2a－3b)⊥c，∴(2k－3)×2＋(－6)＝0，解得k＝3.
8、[2014·福建卷] 在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是( ) A、e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B、e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2) C、e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D、e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
8、B [解析] 由向量共线定理，选项A，C，D中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B中的向量组不共线，可以作为基底，故选B.
16、，[2014·山东卷] 已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，
?π??2π，－2?. 且y＝f(x)的图像过点?，3?和点??
?12??3?
(1)求m，n的值；
(2)将y＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间、
16、解：(1)由题意知，f(x)＝＝msin 2x＋ncos 2x.
因为y＝f(x)的图像过点?
?π，3?和点?2π，－2?，
??3?
?12???
ππ
3＝msin＋ncos，??66
所以?
4π4π
??－2＝msin3＋ncos3，13?3＝m＋n，?22即?
31
－2＝－m－n，??22解得m＝3，n＝1.
π??(2)由(1)知f(x)＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin?2x＋?.
6??π??由题意知，g(x)＝f(x＋φ)＝2sin?2x＋2φ＋?. 6??设y＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)、
2
由题意知，x0＋1＝1，所以x0＝0，
即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)、 π??将其代入y＝g(x)得，sin?2φ＋?＝1. 6??π
因为0<φ<π，所以φ＝. 6
π??因此，g(x)＝2sin?2x＋?＝2cos 2x. 2??
π
由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，
2π??所以函数y＝g(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ?，k∈Z. 2??
π
13、[2014·陕西卷] 设0<θ<，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若
2
a∥b，则tan θ＝________、
1
13. [解析] 因为向量a∥b，所以sin 2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所21
以2sin θ＝cos θ，故tan θ＝.
2
18、，[2014·陕西卷] 在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上、
→→→→(1)若PA＋PB＋PC＝0，求|OP|；
→→→
(2)设OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值、
→→→
18、解：(1)方法一：∵PA＋PB＋PC＝0，
→→→
又PA＋PB＋PC＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，
?6－3x＝0，?x＝2，??∴?解得? ??6－3y＝0，y＝2，??
→→
即OP＝(2，2)，故|OP|＝22. →→→
方法二：∵PA＋PB＋PC＝0，
→→→→→→
则(OA－OP)＋(OB－OP)＋(OC－OP)＝0， →1→→→
∴OP＝(OA＋OB＋OC)＝(2，2)，
3→
∴|OP|＝22. →→→(2)∵OP＝mAB＋nAC， ∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，
??x＝m＋2n，∴? ?y＝2m＋n，?
两式相减得，m－n＝y－x，
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.
F3 平面向量的数量积及应用
10、[2014·北京卷] 已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________、
10.5 [解析] ∵λa＋b＝0，∴λa＝－b，
|b|5
∴|λ|＝＝＝5.
|a|1
11、[2014·湖北卷] 设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)、若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________、
11、±3 [解析] 因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.
1
14、[2014·江西卷] 已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1
3
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