排列组合常见解题错误剖析

排列组合常见解题错误剖析

学生在解排列组合题时常犯以下几类错误： 1、“加法”、“乘法”原理混淆； 2、“排列”、“组合”概念混淆； 3、重复计数； 4、漏解.

本文拟就学生在排列组合问题上的常犯错误归纳分析如下： 1.“加法”、“乘法”原理混淆

两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类方法，这n类方法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事有n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法数就用分步计数原理. 【例1】（93年高考题21）50件产品中有4件次品，从中任意抽出5件，其中至少有3件次品的抽法有_______种.（注：所选高考题为理科题，以下同）

3241〖错解〗有(C4+C46)(C4+C46)＝46575种.

〖错因〗分类与分步概念不清，即加法原理与乘法原理混淆.

〖正解〗分为二类：第一类，先取3件次品，再取2件正品，其抽法有（分两步，用乘法

3241原理）C4C46种；第二类，有4件次品的抽法同理有C4C46种，最后由加法原理，不同的3241抽法共有C4C46+C4C46＝4186种.

【例2】（91年高考题10）从4台甲型与5台乙型电视机中任选出3台，其中至少要有甲、乙型机各一台，则不同的取法共有（ ）

（A）140种 （B）84种 （C）70种 （D）35种

1221〖错解〗有C4C5C4C5＝300种选法.

〖错因〗同例1. 〖正解〗（合理分类，合理使用两个基本原理）从4台甲型机中选2台，5台乙型机中选1

1221台；或从4台甲型机中选1台，5台乙型机中选2台，共有C4C5+C4C5＝70种选法.所

以选C . 2．“排列”、“组合”概念混淆

界定排列与组合问题是排列还是组合？唯一的标准是“顺序”，“有序”是排列问题，“无序”是组合问题，排列与组合问题并存，解答时，一般采用先组合后排列的方法. 【例3】（题目见上例）

1221〖错解〗有A4A5+A4A5＝140种选法，答A .

〖错因〗元素与顺序无关，应是组合问题. 【例4】（94年高考题10）有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有（ ）种. (A) 1260 (B) 2025 (C) 2520 (D) 5040

4〖错解一〗分三步完成：首先从10人中选出4人，有C10种方法；再从这4人中选出二人

承担任务甲，有A4种方法；剩下的两人去承担任务乙、丙，有A2种方法，由乘法原理，不同的选法共有C10A4A2＝5040种，选D.

42222〖错因〗“排列” 、“组合”概念混淆不清.承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合

22问题，即A4应为C4.

224〖错解二〗分三步完成，不同的选法共有C10＝1260种，选A. C4C222〖错因〗剩下的两人去承担任务乙、丙，这与顺序有关，此处应是排列问题，即C2应为A2. 224〖正解一〗不同的选法有C10＝2520种. C4A2〖正解二〗先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出一人承担任务乙；最

211后从剩下的7人中选出一人去承担任务丙，由乘法原理，不同的选法有C10C8C7＝2520

种.

〖正解三〗从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出二人承担任务乙、丙，

2由乘法原理，不同的选法有C10A82＝2520种，选C.

【例5】从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种种植的方法.

3〖错解〗有C4=4 种.

〖错因〗3个品种种在不同土质的3块土地上，有不同的种植顺序，应是排列问题. 〖分析〗对这类既含组合，又含排列的问题，其解答思路是“先组合，后排列”，即“先选后排”.

333〖正解〗有C4=24）种植方法. A3＝24（或A43、重复计数出增解 【例6】（题目同例2）

111〖错解〗从甲、乙型机中各取1台，再由余下的7台机子中取1台，有C5C4C7=140种选

法.所以选A.

〖错因〗若从甲型机中选出的是a机和b机，依错解会出现先取a机后取b机和先取b机后a取机两种情形，显然两种取法的结果是相同的，但却作为两种不同取法重复进行了计数，即由于组合问题的无序性，使不同的组合方式，产生了相同的结果.

111C5C4C7=140. 〖正解一〗（注意到错解正好多算一倍）

21221〖正解二〗有A4A5+A4A5=70种选法,所以选C.

【例7】（95年高考题12）四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法有________种.

〖错解一〗从4只盒子中取出三只，有C4种方法，从4个球中取出3个放入取出的三只

1盒子内，有A4种方法，再将余下的球放入三只有球的盒子中的一只内，有C3种放法，所

331以共有C4A4C3＝288种放法.

33〖错解二〗分三步完成.首先取出3个盒子，有C4种方法；再把球分为三组，有C4C2种

33方法；最后把三组球排列后放入盒子，有A3种方法.由乘法原理，共有C4C4C2A3＝288

321321种方法.

〖错因〗同上题.

31 C34A4C3〖正解一〗在错解中消除重复，有 ＝144种放法.

2〖正解二〗从四个球中取出2个作为一组，与另两个球一起放入四个盒子中的三个内，有

23C4A4＝144种放法.

〖正解三〗将四个球分别放入四只盒子后，取出其中的2盒并为一盒（自然出现一空盒），

42有A4C4＝144种放法. 【例8】（课本变式题）7个人排成一排，甲不排头，乙不排尾的排法有几种？

11〖错解一〗排在排头的有除甲之外的A6种情形，排在尾的也有除乙之外的A6种情形，两1155端排好后余下的排中间有A5种情形，所以不同的排法有A6A6A5=4320种.

5〖错因〗排排头的6种情形也有乙不在排尾的情况，因此重复计算了5A5种情形. 1155〖正解一〗减去重复数，应为A6＝3720种. A6A5-5A52〖错解二〗头尾两个位置可从甲、乙之外的5人中选两人来排，有A5种排法，余下的人

525排中间有A5种方法，所以甲、乙不在排头、排尾的排法有A5种；又甲、乙分别在排A56256尾、排头的排法各有A6种，因此不同的排法共有A5+2A6＝3840种. A55〖错因〗甲排尾且乙排头已包含在甲排尾或乙排头的情形中，因此重复计算了A5种排法.

2565〖正解二〗减去重复数，应为A5+2A6-A5＝3720种排法. A5 重复计数是学生解答排列组合问题时最容易出现的错误之一，且自己还很难查出错因，教师应把以上几种常见重复的原因分析清楚，才可使学生在此类问题上少出错. 4、思维不严密而漏解（遗漏有关情形） 【例9】（题目同例8）

766〖错解〗总排法数为A7，去掉甲排头的排法A6种，再去掉乙排尾的排法A6种,得满足题76意的排法：A7－2A6＝3600（种）.

〖错因〗甲排头的排法中已含有乙排尾的情况，同理，乙排尾的排法中也含有甲排头的情况.而错解中甲排头，同时乙排尾的排法被减去两次，从而造成漏解.（甲、乙作为有限制条件的特殊元素，对其排法须同时考虑，否则会因顾此失彼而出错）

765〖正解一〗（方法同错解，补上被多减的部分）有A7－2A6 +A5＝3720种排法. 1156〖正解二〗分为两类：甲排中间5个位，有A5种方法，由加A5A5种方法；甲排尾，有A61156法原理，共有A5＝3720种排法. A5A5＋A6【例10】（90年高考题13）A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻），那么不同的站法有（ ）种.

(A) 24 (B) 60 (C) 90 (D) 120 〖错解〗把A、B“捆绑”为一个元素（B在A的右边），与C、D、E一起全排列，有A4＝24种站法，答A.

〖错因〗审题不严，未注意到“A、B可以不相邻”而漏解.

3〖正解一〗按B的位置分为四类：B排第一、二、三、四位时的排法数分别是A4、3A3、

44333332A3、A3，所以共有A4+3A3+2A3+A3 =60种排法，选B.

4〖正解二〗利用对称关系（注意到A在B左边与A在B右边的排列情形是对称相同的），

A55有=60(种)，选B .

2【例11】（97年高考题15）四面体的顶点和各棱中点共10个点，从中取出4个不共面的点，不同的取法有（ ）种.

(A) 150 (B) 147 (C) 144 (D) 141

〖分析〗考虑到此题中四点共面的情形有三类：①四点位于同一表面；②四点为两组相对棱的中点；③四点为一条棱上的三点与其相对棱的中点.求解时若只考虑到情形①，就会

4444由算式C10－4C6＝150而错选A；若只考虑到情形①、②，就会由算式C10－4C6－3＝

44147而错选B；若只考虑到情形①、③，就会由算式C10－4C6－6＝144而错选C；只有三44种情形都考虑到，才能得到正确的结果C10－4C6－6－3＝141，选D.（从此题选项的设

置可看出命题者之良苦用心）

5、算法选择不当而造成易出错的复杂局面

如对90年高考题13，不会利用对称关系解决，选择分类法后由于情形较复杂而易因考虑不周出错.

如在高考90年题（14）、96年题（17）及97年题（15）中，应该用间接法而不恰当地选用了直接法. 【例12】（93年高考题17）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）

(A) 6种 (B) 9 种 (C) 11种 (D) 23种

1〖正解一〗A的卡分给B、C、D三人，有C3种方法；设B拿到A的卡，则B的卡可分给A、1C、D三人中任一人，也有三种方法；余下两张卡分给剩余两人，有C1种方法，所以共有111＝9种不同的分法. C1C3C31〖正解二〗设A先拿卡有C3种方法；然后由A拿到谁的卡，则由谁再去拿卡，也有三种111方法；余下两张卡分给剩余两人，只有1种方法，所以共有C3＝9种不同的分法. C1C3或将所有可能的分配方案一一写出也不失为一种方法.

错因多在于选用了间接法，由于情形复杂而出错. 6、应用对称关系不当

一些排列组合问题，可应用对称关系简便地解决（如高考90年题13），但首先应判断清楚该问题是否具有对称性. 【例13】（87年高考题14）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字且1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数.

53A5〖错解〗（应用对称关系）有=90个.

4〖错因〗1与2在这个五位数中的位置有12、1╳2、1╳╳2、1╳╳╳2四种情形，故误以为1、2不相邻的情形有占总数的不具有对称性.

24325〖正解〗：有A3-A2A4）＝72个. A4（或A53，而实际上，这四种情形下的五位数的个数是不同的，4