练习题：
41． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ C9 32 .x?y?z?w?100求这个方程组的自然数解的组数 C103
十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个
121233数含有3个偶数的取法有C5,只含有1个偶数的取法有C5C5,和为偶数的取法共有C5C5?C5。再淘汰和小于10的123偶数共9种，符合条件的取法共有C5C5?C5?9
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出
它的反面,再从整体中淘汰.
练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种? 十二.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
解: 分三步取书得C6C4C2种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB,第二步
取
CD,
第
三
步
取
EF
该
分
法
记
为
(AB,CD,EF),
则
22C62C4C2222中还有
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有A33种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)
2223一种分法,故共有C6C4C2/A3种分法。
n平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以Ann(为均分的
组数)避免重复计数。
练习题：
54421 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（C13C8C4/A2）
2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法 （1540）
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安 排2名，则不同的安排方案种数为______（C4C2A6/A2?90） 十三. 合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少
5
2222选派方法
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有C3C3种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员C5C3C4种,只会
唱的5人中只有2人选上唱歌人员有C5C5种，由分类计数原理共有
2211222 C3C3?C5C3C4?C5C5种。
2222112
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
练习题：
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27） 本题还有如下分类标准：
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准，都可经得到正确结果 十四.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不
能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
3解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C5 种
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒
模型等，可使问题直观解决
练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120） 十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
2解：从5个球中取出2个与盒子对号有C5种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5
号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只
2有1种装法,由分步计数原理有2C5种
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用
穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果
3号盒 4号盒 5号盒
6
534 练习题：
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种 十六. 分解与合成策略
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13
依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，
12345所有的偶因数为：C5?C5?C5?C5?C5
13254练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
4解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共C8?12?58,每个四面体有
3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成3?58?174对异面直线
分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略
十七.化归策略
例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有C3C2C1种。再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队
33中选取3行3列有C5C5选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有
33111C5C5C3C2C1选法。
111
处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题
B练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最
3短路径有多少种？(C7?35)
十八.数字排序问题查字典策略
A7
例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？
54321解:N?2A5?2A4?A3?A2?A1?297
数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。 练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是 3140 十九.树图策略
例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有
______ N?10
练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅（i?1,2,3,4,5）的不同坐法有多少种？N?44 二十.复杂分类问题表格策略
例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,
则共有多少种不同的取法 解:
一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果 红 黄 兰 取法 1 1 3 11C5C4 1 2 2 12C5C4 1 3 1 13C5C4 2 1 2 1C52C3 2 2 1 C52C32 3 1 1 1C53C2 二十一：住店法策略
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.
例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .
分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得7种.
小结
本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。
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