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∴∠EGQ＝∠AEO， ∵GE＝OE，

∴△EGQ≌△OEA（AAS）， ∴EQ＝AO＝2∴AE＝2EQ＝4∴x＝， ∴BF＝2或．

， ＝

，

6．解：（1）将∠B沿BC的中垂线DE翻折（如图3），使点B落在点C处． ∵∠ACB＞∠ABC，

∴CD在△ABC的内部，D落在AB上． 连接DC，

∵DE为BC的中垂线， ∴DB＝DC，

在△ADC中，AD+DC＞AC， ∴AD+DB＞AC， 即AB＞AC；

（2）如图4，延长DC到点E，使得CE＝CN，连接AE交BC于点F，连接AC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD＝∠ACB＝45°， ∴∠ACE＝∠ACN＝135°， ∵AC＝AC，

∴△ACE≌△ACN（SAS）， ∴AE＝AN，

过点C作PQ⊥AC，分别交AN、AE于点P、Q， 由∠ACP＝∠ACQ＝90°可知AP＞AC、AQ＞AC， ∴AP+AQ＞2AC，

∵∠ACD＞∠E，∠ACD＝45°，∠QCE＝45°， ∴∠QCE＞∠E， ∴QE＞CQ， 同理可得PC＞PM，

由全等或对称性可得PC＝CQ， ∴QE＞PM．

∴AM+AN＝AM+AE＝AM+AQ+QE＞AM+AQ+PM＝AP+AQ， 又∵AP+AQ＞2AC， ∴AM+AN＞2AC，

∵正方形ABCD中，AC＝BD． ∴AM+AN＞2BD．

7．解：（1）①如图1，

∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠ADC+∠ADG＝90° ∴F、D、G共线，

∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠DAG+∠DAF＝45°， 即∠EAF＝∠GAF＝45°， 在△EAF和△GAF中， ∵

，

∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝GF， ∵BE＝DG，

∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF， 故答案为：EF＝BE+DF； ②成立，

理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合， 则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠B+∠ADC＝180°， ∴∠ADC+∠ADG＝180°， ∴C、D、G在一条直线上，

与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°， 在△EAF和△GAF中， ∵

，

∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝GF， ∵BE＝DG， ∴EF＝GF＝BE+DF；

（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2∴∠ABC＝∠C＝45°， 由勾股定理得：BC＝

＝4，

，∠BAC＝90°，

如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF． 则AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE， ∵∠DAE＝45°，

∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°， ∴∠FAD＝∠DAE＝45°， 在△FAD和△EAD中∴△FAD≌△EAD（SAS）， ∴DF＝DE，

设DE＝x，则DF＝x， ∵BC＝4，

∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x， ∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°， ∴∠FBD＝90°，

，