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2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题
（2009年12月6日）
一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分） 1、对于任意实数a,b，定义,a?b=a(a+b) +b, 已知a?2.5=28.5，则实数a的值是 。
2、在三角形ABC中，AB?b2?1,BC则b-a= 。
3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。
4、已知关于x的方程x4?2x3?(3?k)x2?(2?k)x?2k?0?a,CA?2a2，其中a,b是大于1的整数，
有实根，并且所有实根
B的乘积为?2，则所有实根的平方和为 。
EP5、如图，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点。PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为 。
CF第五题图A6、设a，b是方程x2?68x?1?0的两个根，c，d是方程x2?86x?1?0的两个根，则(a+ c)( b + c)( a ? d)( b ? d)的值 。
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7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2)，函数y=kx?1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是 。
8方程xyz=2009的所有整数解有 组。
9如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°。设AD,BC延长线交于E ，则∠AEB= 。
DAC
DMBC第九题图
EA第十题图B
10、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD= 90°，AB=BC=10，点M在BC上，使得ΔADM是正三角形，则ΔABM与ΔDCM的面积和是 。
二、（本题15分）如图，ΔABC 中∠ACB =90°，点D在CA上，使得CD=1, AD=3，并且∠BDC=3∠BAC，求BC的长。
三、（本题15分）求所有满足下列
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BCAD第二大题图条
件的四位数abcd，abcd
?(ab?cd)2其中数字c可以是0。
四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。
五、（本题15分）若两个实数a,b,使得,a2?b与a?b2都是有理数，称数对(a,b)是和谐的。
①试找出一对无理数，使得(a，b)是和谐的；
②证明：若(a，b)是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数； ③证明：若(a，b)是和谐的，且是有理数，则a,b都是有理数；
ba
2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答
一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分）
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