2.5 从力做的功到向量的数量积
备课资料
一、向量的向量积
在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要,就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积.定义如下: 两个向量a.与b的向量积是一个新的向量c:
(1)c的模等于以a.及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积; (2)c垂直于平行四边形所在的平面;
(3)其指向使a.、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a.与b时,a.按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b，如图8.
图8
向量a与b的向量积记作a×b.
设a与b两个向量的夹角为θ,则|a.×b|=|a||b|sinθ.
在上面的定义中已默认了a、b为非零向量,若这两个向量中至少有一个是零向量,则 a×b=0.
向量的向量积服从以下运算律: (1)a×b=-b×a;
(2)a×(b+c)=a×b+a×c; (3)(ma)×b=m(a×b). 二、备用习题
1.已知a,b,c是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为( ) ①|a·b|=|a||b?|a∥b②a与b反向?a·b=-|a||b| ③a⊥b?|a+b|=|a-b| ④|a|=|b|?|a·c|=|b·c|
A..1 B.2 C.3 D.4 2.有下列四个命题:
①在△ABC中,若AB·BC＞0,则△ABC是锐角三角形; ②在△ABC中,若AB·BC＞0,则△ABC为钝角三角形; ③△ABC为直角三角形的充要条件是AB·BC=0; ④△ABC为斜三角形的充要条件是AB·BC≠0.
其中为真命题的是( )
A..① B.② C.③ D.④ 3.设|a|=8,e为单位向量,a与e的夹角为60°,则a在e方向上的投影为( ) A..43 B.4 C.42 D.8+4.设a,b,c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题:
1
3 2①(a·b)c-(c·a.)b=0;②|a|-|b|＜|a.-b|;
22
③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|-4|b|. 其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 5.在△A.BC中,设AB=b,AC=c,则(|b||c|)2?(b?c)2等于( )
1S△ABC C.S△ABC D.2S△ABC 26.设i、j是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量,且a=(m+1)i-3j,b=i+(m-1)j,如果(a+b)⊥(a-b),则实数m=_____________. 7.若向量a,b,c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a=________________.
8.设|a|=3,|b|=4,a.与b的夹角为150°,求: (1)(a-3b)·(2a+b); (2)|3a-4b|.
A..0 B.
9.已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为45°,且向量λa+b与a+λb的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.
10.解：已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为解答:
1.C 2.B 3.B 4.D 5.D 6.-2 7.-13
8.(1)-30+303;(2)337?1443. 9.{λ|λ＜
?11?85?11?85}. 或??66?,求向量m=2a+b与n=a-4b的夹角的余弦值. 310.解：由向量的数量积的定义,得a·b=2×1×cos
2
2
2
?=1. 3∵m=2a+b,∴m=4a.+b+4a.·b=4×4+1+4×1=21.∴|m|=21. 又∵n=a-4b,∴n=a.+16b-8a.·b=4+16-8=12. ∴|n|=23.
设m与n的夹角为θ,则m·n=|m||n|cosθ.①
22
又m·n=2a-7a·b-4b=2×4-7-4=-3.
把m·n=-3,|m|=21,|n|=23代入①式,得-3=21×23cosθ, ∴cosθ=-77,即向量m与向量n的夹角的余弦值为-.精品推荐 14142
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