高中物理公式证明

2015年安徽省高三物理公式证明题总复习

在安徽省近三年的高考中都出现了证明题，所以毕当引起考生的重视。在物理考试说明的题型示例中，也出现了公式证明题。在解这类问题时，要有一定的文字说明，首先必须交待所用的每个物理量的含义，其次要分析过程，并说明所用的物理概念或规律。下面给出的是高中物理公式证明题总复习的示例，希望各位同学能够自己仔细去推敲。 【例1】证明运动学中的几个推论

设物体做匀变速运动，初速度为v0，末速度为vt，加速度为a，运动时间为t，中间时刻的速度为vt/2，中间位置的速度为vs/2，证明：

1．v t/2?v?(v0?vt)/22.vs?2v0?vt 2223.vt2-vo2=2as 4.Δs=aT2

[证明]1．根据运动学公式：vt=vo+at, s=vot+at2/2, 中间时刻的速度：vt/2=vo+at/2

sv0t?at2/2平均速度：v???v0?at/2

tt又(v0+vt)/2=(v0+v0+ at)/2= vo+at/2, 所以 vt/2?v?(v0?vt)/2 2．vt-vo=2as……（1） vs/2-vo=2a(s/2)……（2) (1)/(2):vs/2=(vo+vt)/2, 所以有vs?22

2

2

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v0?vt 222 3.根据vt=vo+at, 得：t=(vt-vo)/a,把t代入 s=vot+at2/2, 得：vt2-vo2=2as

4.从第一个T秒开始时计时，在该时刻t=0,速度为v0，有： s1=v0T+aT/2, s2=（v0+aT）T+aT/2, s3=（v0+2aT）T+aT/2,…… sn=[v0+（n-1）aT]T+aT/2,

s2 -s1= s3 –s2=……=Δs=aT2

【例2】证明机械能守恒定律：在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但总的机械能保持不变．

证明：如图所示，取地面为零势能点，设物体只受重力作用，

向下做自由落体运动。在位置1时速度为v1，高度为h1， 在位置2时速度为v2，高度为h2

1

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2

2

2

由匀加速运动公式可得：v22-v12 = 2g(h1-h2)

v12+2gh1 = v22+2gh2

mv12/2+mgh1 = m v22/2+mgh2

【例3】证明动能定理：合外力对物体所做的功等于物体动能的增加．

证明：设一个质量为m的物体原来的速度为v1，动能为mv1/2，在恒定的合外力F的作用下，发生一段位移s，速度为v2，动能增加到mv2/2，设合外力方向与运动方向相同.

由运动学公式v22-v12 =2as得：s = (v22-v12)/2a 合外力F做的功W = Fs，根据牛顿第二定律F = ma 所以Fs = ma(v22-v12)/2a = mv2/2- mv1/2

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22

2

或W = EK2- EK1

【例4】证明：导体切割磁感线产生的电动势ε= BLv.

证明一：如图所示，假设垂直水平轨道放置的导体棒长L，以速度v在轨道上向右运动，设在Δt时间内棒由原来的位置ab移到cd，这时线框的面积变化量ΔS = LvΔt

穿过闭合电路的磁通量变化量：ΔΦ= BΔS = BLvΔt 由法拉第电磁感应定律：ε=ΔΦ/Δt,将上式代入得： 导体切割磁感线产生的电动势：ε= BLv

证明二：如图所示，假设导体棒长L，以垂直导体棒的速度v水平向右 运动，有一垂直纸面向里的匀强磁场磁感应强度大小为B

由左手定则可知：棒中自由电子e受洛仑兹力f = evB作用向下运动， 使棒上下端产生电势差ε，形成的电场强度大小为E =ε/L

当f = eE 时，棒中产生稳定的电动势：ε= BLv

【例5】求证：电流与自由电子定向移动速率的关系式I=neSv．

证明：如图所示,设对一段导线通以强度为I的电流，导线截面积为S，电子定向移动速率为v，单位体积内自由电子数为n，通电时间为t

则在这段时间内，自由电子定向移动的距离为L = vt 通过导线截面的电量为q = enV = enSL = neSvt

所以电流为I = q/t = neSv

【例6】证明：洛仑兹力公式f = qvB.

证明：设导线中单位体积内含有的自由运动电荷数是n，每个自由电荷的电量是q，自由电荷的平

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v

均定向移动速率是v，导线的横截面积是S，那么通过导线的电流就是 I = nqvS

磁场对电流的作用力是F=ILB．这个力可看作是作用在每个自由运动电荷上的洛仑兹力的合力，设洛仑兹力为f，这段导线内自由运动电荷的总数为N，则

Nf = F，即Nf = ILB

代入I = nqvS，得到Nf = nqvSLB

又N等于单位体积内的运动电荷数跟体积的乘积，即N = nSL

因此上式简化为f = qvB

【例7】证明：万有引力定律F = GMm/r2

证明：设有两个孤立物体质量分别为M、m，相距较远间距为r，m绕M作匀速圆周运动周期为T

M对m的万有引力F提供向心力：F = m(2π/T)2r ① 由开普勒第三定律： r3/ T2 = 常数 ② 由①②得：F = (2π)2m( r3/ T2) /r2 即F∝m/r2 ③

由牛顿第三定律可知：m对M的万有引力大小也为F，且具有相同的性质 所以，m对M的万有引力F∝M/r2 ④ 综合③④得：F∝Mm/r2

万有引力定律F = GMm/r2 (其中G为引力常量)

【例8】(1)试在下述简化情况下，由牛顿定律和运动学公式导出动量定理表达式：一个运动质点只受到一个恒力作用，沿直线运动。要求说明推导过程中每步的根据．．．．．．．．．．，以及最后结果中各项的意义．．．．．．．．．．． 解：(1)如图所示,一物体放在光滑的水平面上,设在恒力F的作用下, 开始时物体的初速度为V1,经过t时间后,物体的速度变为V2 由牛顿第二定律得：a?F ① mV1 F V2 F 由运动学公式得: a?v2?v1 ② t由①②可得:

v2?v1F?,由此式变形得: Ft?mv2?mv1 tm式中:Ft表示物体在t时间内物体受到合外力的冲量；mv2表示物体在这段时间的末动量；mv1表示物体在这段时间的初动量

【例8】．求证：半径公式r=mv/Bq，周期公式T=2πm/Bq

证明：如图所示，设一带电粒子质量为m，带电量为q，匀强磁场的磁感强

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度为B，粒子做匀速圆周运动的向心力为洛仑兹力，即 Fn=qvB=mv/r 所以运动半径为r=mv/Bq． 根据周期公式T=2πr/v,将r=mv/Bq代入得 带电粒子的运动周期为T=2πm/Bq．

【例9】如图所示，弹簧的一端固定在墙上.另一端连结一质量为m的木块，今将木块向右拉开一位移L后释放，木块在有摩擦的水平地面上减幅振动.弹簧第一次恢复原长时，木块速度为v0，试讨论：木块在整个振动过程中出现速度为v0的位置有几个.

分析和证明：在整个振动过程中出现速度为v0的位置有且只有2个. 释放木块后，木块在水平方向上的弹力和摩擦力同时作用下，先向左作加速度变小的加速运动.后向左作加速度变大的减速运动.在弹簧原长位置的右侧x0处（kx0??mg），一定存在一加速度为零的位置（平衡位置），此位置向左的速度最大.根据速度变化必须是连续的原理可知，既然左侧有一v0，其右侧也一定存在一v0的位置.

在弹簧第一次恢复原长，木块速度为v0时，系统振动的能量E?Ek?m 2

12mv0，此后的运动由于2摩擦的作用，系统振动能量不断减小，E??E，设此后振动中任一时刻的速率为vx

即

1212mvx?Ep?mv0 22所以vx＜v0，且不断变小，直至停止振动为止.

【例10】如图1 所示：一根导体棒oa 长度为L，电阻不计，绕o 点在垂直于匀强磁场B 的平面内以角速度ω做匀速圆周运动，求其产生的电动势。

解法一：假想电路法

假想导体棒与一个定值组成闭合回路（如图2 所示），利用法拉第电磁感应定律公式 求解。

此公式在高中阶段一般用于求感应电动势的平均值，不用来求瞬时值，但本题中棒切割磁感线的角速度恒定，产生的感应电动势大小也是定值，故平均值与瞬时值相同，可以用此公式求金属棒产生电动势的瞬时值。假设棒与某个电阻R 组成了一个闭合回路，经过时间△t，棒转过了角度θ，则闭合电路的磁通量增加量为：

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