2018年新人教A版高中数学必修一
全册同步检测
目 录
第1章1.1.1第1课时集合的含义 第1章1.1.1第2课时集合的表示 第1章1.1.2集合间的基本关系 第1章1.1.3第1课时并集与交集
第1章1.1.3第2课时补集及集合运算的综合应用 第1章1.2.1函数的概念
第1章1.2.2第1课时函数的表示法 第1章1.2.2第2课时分段函数及映射 第1章1.3.1第1课时函数的单调性
第1章1.3.1第2课时函数的最大（小）值 第1章1.3.2奇偶性 第1章章末复习课
第1章单元评估验收(一)
第2章2.1.1指数与指数幂的运算
第2章2.1.2第1课时指数函数的图象及其性质 第2章2.1.2第2课时指数函数及其性质的应用 第2章2.2.1对数与对数运算
第2章2.2.2第1课时对数函数的图象及其性质 第2章2.2.2第2课时对数函数及其性质的应用 第2章2.3幂函数 第2章章末复习课
第2章单元评估验收(二)
第3章3.1.1方程的根与函数的零点 第3章3.1.2用二分法求方程的近似解 第3章3.2.1几类不同增长的函数模型 第3章3.2.2函数模型的应用实例 第3章章末复习课
第3章单元评估验收(三) 模块综合评价(一) 模块综合评价(二)
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第一章 集合与函数概念 1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知集合A中的元素x满足－5≤x≤5，且x∈N*，则必有( ) A．－1∈A C.3∈A
B．0∈A D．1∈A
解析：－5≤x≤5，且x∈N*， 所以x＝1，2，所以1∈A. 答案：D
2．下列各对象可以组成集合的是( ) A．中国著名的科学家 B．2017感动中国十大人物
C．高速公路上接近限速速度行驶的车辆 D．中国最美的乡村
解析：看一组对象是否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的，A，C，D选项没有一个明确的判定标准，只有B选项判断标准明确，可以构成集合．
答案：B
3．由x2，2|x|组成一个集合A中含有两个元素，则实数x的取值可以是( ) A．0 B．－2 C．8 D．2
解析：根据集合中元素的互异性，验证可知a的取值可以是8. 答案：C
4．已知集合M具有性质：若a∈M，则2a∈M，现已知－1∈M，则下列元素一定是M中的元素的是( )
1
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A．1 B．0 C．－2 D．2
解析：因为a∈M，且2a∈M，又－1∈M， 所以－1×2＝－2∈M. 答案：C
5．由a2，2－a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( ) A．1 B．－2 C．6 D．2
解析：因A中含有3个元素，即a2，2－a，4互不相等，将选项中的数值代入验证可知答案选C.
答案：C 二、填空题
6．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)． ①不超过10的所有正整数； ②高一(6)班中成绩优秀的同学； ③中央一套播出的好看的电视剧； ④平方后不等于自身的数．
解析：①④中的对象是确定的，可以组成集合，②③中的对象是不确定的，不能组成集合．
答案：①④
7. 以方程x2－2x－3＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．
解析：因为方程x2－2x－3＝0的解是x1＝－1，x2＝3，方程x2－x－2＝0的解是x3
＝－1，x4＝2，所以以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为－1，2，3，共有3个元素．
答案：3
8．已知集合M含有两个元素a－3和2a＋1，若－2∈M，则实数a的值是____________． 解析：因为－2∈M，所以a－3＝－2或2a＋1＝－2.若a－3＝－2，则a＝1，此时
2
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3
集合M中含有两个元素－2，3，符合题意；若2a＋1＝－2，则a＝－，此时集合M中
293
含有两个元素－2、－，符合题意；所以实数a的值是1、－.
22
3
答案：1、－ 2三、解答题
9．若集合A是由元素－1，3组成的集合，集合B是由方程x2＋ax＋b＝0的解组成的集合，且A＝B，求实数a，b.
解：因为A＝B，所以－1，3是方程x2＋ax＋b＝0的解．
???－1＋3＝－a，?a＝－2，则?解得? ???－1×3＝b，?b＝－3.
10．已知集合A中含有三个元素a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求a的值． 解：因为－3∈A，所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3， 3所以a＝－1或a＝－.
2
当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，集合A不满足元素的互异性，所以a＝－1舍去．
33
当a＝－时，经检验，符合题意．所以a＝－. 22
B级 能力提升
1．集合A中含有三个元素2，4，6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为( ) A．2 B．2或4 C．4 D．0 解析：若a＝2，则6－2＝4∈A； 若a＝4，则6－4＝2∈A； 若a＝6，则6－6＝0?A.故选B. 答案：B
3
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xyzxyz
2．设x，y，z是非零实数，若a＝＋＋＋，则以a的值为元素的集合中元
|x||y||z||xyz|素的个数是______．
解析：当x，y，z都是正数时，a＝4，当x，y，z都是负数时a＝－4，当x，y，z中有1个是正数另2个是负数或有2个是正数另1个是负数时，a＝0.所以以a的值为元素的集合中有3个元素．
答案：3
1
3．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
1－a求证：(1)若2∈A，则A中必有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集． 1
证明：(1)若a∈A，则∈A.
1－a1
又因为2∈A，所以＝－1∈A.
1－211
因为－1∈A，所以＝∈A.
1－（－1）211因为∈A，所以＝2∈A.
21
1－
21
所以A中另外两个元素为－1，.
21
(2)若A为单元素集，则a＝，
1－a即a2－a＋1＝0，方程无解．
1
所以a≠，所以A不可能为单元素集．
1－a
4
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第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示 第2课时 集合的表示
A级 基础巩固
一、选择题
1．集合{x∈N＋|x－2<4}用列举法可表示为( ) A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5} 解析：{x∈N＋|x－2<4}＝{x∈N＋|x<6}＝{1，2，3，4，5}． 答案：D
2．集合{(x，y)|y＝2x＋3}表示( ) A．方程y＝2x＋3 B．点(x，y)
C．函数y＝2x＋3图象上的所有点组成的集合 D．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
解析：集合{(x，y)|y＝2x＋3}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x＋3，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合．
答案：C
3．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则有( ) A．－1∈A C.3∈A
B．0∈A D．2∈A
5
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解析：因为0是整数且满足－3≤x≤3，所以0∈A. 答案：B
4．由大于－3且小于11的偶数组成的集合是( ) A．{x|－3 解析：{x|x＝2k，k∈Z}表示所有偶数组成的集合． 由－3 ??y＝x2?????，正确的是( ) 5．用列举法表示集合?（x，y）????y＝－x?? A．(－1，1)，(0，0) B．{(－1，1)，(0，0)} C．{x＝－1或0，y＝1或0} D．{－1，0，1} 2 ???y＝x，?x＝－1，??x＝0， 解析：解方程组?得?或?所以答案为{(－1，1)，(0，0)}． ???y＝－x，??y＝1?y＝0， 答案：B 二、填空题 6．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是_______(填序号)． ①M＝{π}，N＝{3.141 59}； ②M＝{2，3}，N＝{(2，3)}； ③M＝{x|－1 解析：④中的两个集合的元素对应相等，其余3组都不表示同一个集合．所以答案为④. 答案：④ 6 人教A版高中数学必修1同步检测 7．若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{x2－1|x∈A}．集合B用列举法可表示为________． 解析：因为A＝{－2，－1，0，1，2}，所以B＝{3，0，－1}． 答案：B＝{3，0，－1} ??10??＝______________. x|x∈Z，∈N8．用列举法表示集合A＝6－x?? 10 解析：因为x∈Z，∈N，所以6－x＝1，2，5，10， 6－x得x＝5，4，1，－4.故A＝{5，4，1，－4}． 答案：{5，4，1，－4} 三、解答题 9．设集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，若a∈A，b∈B，试判断a＋b与集合A，B的关系． 解：因为a∈A，则a＝2k1(k1∈Z)； b∈B，则b＝2k2＋1(k2∈Z)， 所以a＋b＝2(k1＋k2)＋1. 又k1＋k2为整数，2(k1＋k2)为偶数， 故2(k1＋k2)＋1必为奇数，所以a＋b∈B且a＋b?A. 10．用适当方法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集． (1)不超过10的非负偶数的集合； (2)大于10的所有自然数的集合． 解：(1)不超过10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，共6个元素，故集合用列举法表示为{0，2，4，6，8，10}，集合是有限集． (2)大于10的自然数有无限个，故集合用描述法表示为{x|x>10，x∈N}，集合是无限集． B级 能力提升 7 人教A版高中数学必修1同步检测 1．已知集合A＝{一条边长为2，一个角为30°的等腰三角形}，则A中元素的个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．无数个 解析：两腰为2，底角为30°；或两腰为2，顶角为30°；或底边为2，底角为30°；或底边为2，顶角为30°.共4个元素． 答案：C 2．有下面四个结论： ①0与{0}表示同一个集合； ②集合M＝{3，4}与N＝{(3，4)}表示同一个集合； ③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x|4＜x＜5}不能用列举法表示． 其中正确的结论是________(填序号)． 解析：①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②集合M是实数3，4的集合，而集合N是实数对(3，4)的集合，不正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示． 答案：④ ??b ?3．含有三个实数的集合可表示为a，a，1?，也可表示为{a2，a＋b，0}，求a2 016＋?? b2 017的值． ??b ?解：由a，a，1?可得a≠0，a≠1(否则不满足集合中元素的互异性)． ?? ?1＝a， 所以? b?a＝0 2 a＝a＋b， ?1＝a＋b，? ?a＝－1，??a＝1， 或?解得?或? ?b＝0?b＝0.??b ?a＝0， a＝a2， 经检验a＝－1，b＝0满足题意． 所有a2 016＋b2 017＝(－1)2 016＝1. 8 人教A版高中数学必修1同步检测 9 人教A版高中数学必修1同步检测 第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.1.2 集合间的基本关系 A级 基础巩固 一、选择题 1．集合P＝{x|x2－4＝0}，T＝{－2，－1，0，1，2}，则P与T的关系为( ) A．P＝T B．P T C．P?T D．P T 解析：由x2－4＝0，得x＝±2，所以P＝{－2，2}．因此P T. 答案：D 2．已知集合A?{0，1，2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( ) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：集合{0，1，2}的非空子集为：{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，其中含有偶数的集合有6个． 答案：A 3．已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是( ) A．0∈A C．－1∈A B．1?A D．0?A 解析：由x(x－1)＝0得x＝0或x＝1，则集合A中有两个元素0和1，所以0∈A，1∈A. 答案：A 4．以下说法中正确的个数是( ) 10 人教A版高中数学必修1同步检测 ①M＝{(1，2)}与N＝{(2，1)}表示同一个集合； ②M＝{1，2}与N＝{2，1}表示同一个集合； ③空集是唯一的； ④若M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}与N＝{x|x＝t2＋1，t∈R}，则集合M＝N. A．0 B．1 C．2 D．3 解析：①集合M表示由点(1，2)组成的单元素集，集合N表示由点(2，1)组成的单元素集，故①错误； ②由集合中元素的无序性可知M，N表示同一个集合，故②正确； ③假设空集不是唯一的，则不妨设?1、?2为不相等的两个空集，易知?1??2，且?2?? 1，故可知?1＝?2，矛盾，则空集是唯一的，故③正确； ④M，N都是由大于或等于1的实数组成的集合，故④正确． 答案：D 5．集合A＝{x|0≤x<4，且x∈N}的真子集的个数是( ) A．16 B．8 C．15 D．4 解析：A＝{x|0≤x<4，且x∈N}＝{0，1，2，3}，故其真子集有24－1＝15(个)． 答案：C 二、填空题 6．已知集合A＝{x|x2＝a}，当A为非空集合时a的取值范围是________． 解析：A为非空集合时，方程x2＝a有实数根，所以a≥0. 答案：{a|a≥0} 7．已知?{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________． 解析：因为?{x|x2－x＋a＝0}． 所以{x|x2－x＋a＝0}≠?，即x2－x＋a＝0有实根． 1 所以Δ＝(－1)2－4a≥0，得a≤. 4 11 人教A版高中数学必修1同步检测 ??1? 答案：?a?a≤4? ?? ? 8．已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B?A，则实数a的所有可能取值的集合为________． ??1?1???解析：当a＝0时，B＝??A；当a≠0时，B＝xx＝－a，若B?A，则－＝－1 a??? 1 或－＝1，解得a＝1或a＝－1.综上，a＝0或a＝1或－1. a 答案：{－1，0，1} 三、解答题 9．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若B?A，求实数p的取值范围． 解：若B＝?，则p＋1>2p－1，解得p<2； 若B≠?，且B?A，则借助数轴可知， p＋1≤2p－1，?? ?p＋1≥－2，解得2≤p≤3. ??2p－1≤5，综上可得p≤3. 10．已知集合A {x∈N|－1 A共有多少个？并用恰当的方法表示这些集合． 解：因为{x∈N|－1 当A中含有1个元素时，A可以为{1}； 当A中含有2个元素时，A可以为{0，1}，{1，2}． B级 能力提升 1．已知集合B＝{－1，1，4}满足条件?M?B的集合的个数为( ) A．3 B．6 C．7 D．8 12 {0，1，2}且A中至少有一个元素为奇数， 人教A版高中数学必修1同步检测 解析：满足条件的集合是{－1}，{1}，{4}，{－1，1}，{－1，4}，{1，4}，{－1，1，4}，共7个． 答案：C 2．设A＝{4，a}，B＝{2，ab}，若A＝B，则a＋b＝________． 解析：因为A＝{4，a}，B＝{2，ab}，A＝B， ??4＝ab，所以?解得a＝2，b＝2， ?a＝2，? 所以a＋b＝4. 答案：4 3．已知A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若B?A，求a的取值范围． 解：集合A＝{0，－4}，由于B?A，则： (1)当B＝A时，即0，－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，代入解得a＝1. (2)当BA时， ①当B＝?时，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1. ②当B＝{0}或B＝{－4}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0应有两个相等的实数根0或－4.则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足条件． 综上可知a＝0或a≤－1. 13 人教A版高中数学必修1同步检测 第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.1.3 集合的基本运算 第1课时 并集与交集 (对应学生用书P12) A级 基础巩固 一、选择题 1．设集合A＝{1，3}，集合B＝{1，2，4，5}，则集合A∪B＝( ) A．{1，3，1，2，4，5} B．{1} C．{1，2，3，4，5} D．{2，3，4，5} 解析：因为集合A＝{1，3}，集合B＝{1，2，4，5}， 所以集合A∪B＝{1，2，3，4，5}．故选C. 答案：C 2．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝1}，则A∩B的元素个数为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：联立两集合中的方程得：??22?x＋y＝1， ?? x＋y＝1， 解得???x＝0，??x＝1， ??y＝1或??? y＝0，有两解． 答案：C 3．若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，则集合A∩B等于( ) 14 x＋ 人教A版高中数学必修1同步检测 A．{x|x≤3，或x>4} C．{x|3≤x<4} B．{x|－1 解析：直接在数轴上标出A、B的区间(图略)，取其公共部分即得A∩B＝{x|－2≤x<－1}． 答案：D 4．已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，且A∪B＝A，则m＝( ) A．0或3 C．1或3 B．0或3 D．1或3 解析：由A∪B＝A，得B?A，因为A＝{1，3，m}，B＝{1，m}， 所以m＝3或m＝m，解得m＝3或m＝0或m＝1，验证知，m＝1时不满足集合中元素的互异性，故m＝0或m＝3，故选B. 答案：B 5．设全集U＝R，A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则下图中阴影部分表示的集合为( ) A．{2} B．{3} C．{－3，2} D．{－2，3} 解析：A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，B＝{－3，2}，阴影部分表示的集合是A∩B＝{2}，故选A. 答案：A 二、填空题 6．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝________． 解析：借助数轴知，A∪B＝{x|x>0}∪{x|－1≤x≤2}＝{x|x≥－1}． 答案：{x|x≥－1} 7．已知集合A＝{x|0 15 人教A版高中数学必修1同步检测 解析：A＝{1，2，3，4，5，6}，于是A∩B＝{3，5}． 答案：{3，5} 8．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________． 解析：由A∪B＝R，得A与B的所有元素应覆盖整个数轴．如下图所示： 所以a必须在1的左侧，或与1重合，故a≤1. 答案：{a|a≤1} 三、解答题 9．已知集合A＝{x∈Z|－3≤x－1≤1}，B＝{1，2，3}，C＝{3，4，5，6}． (1)求A的非空真子集的个数； (2)求B∪C，A∪(B∩C)． 解：(1)A＝{－2，－1，0，1，2}，共5个元素， 所以A的非空真子集的个数为25－2＝30. (2)因为B＝{1，2，3}，C＝{3，4，5，6}， 所以B∪C＝{1，2，3，4，5，6}，A∪(B∩C)＝{－2，－1，0，1，2，3}． 10．已知集合A＝{|a＋1|，3，5}，B＝{2a＋1，a2＋2a，a2＋2a－1}．当A∩B＝{2，3}时，求A∪B. 解：因为A∩B＝{2，3}，所以2∈A，所以|a＋1|＝2，解得a＝1或a＝－3. ①当a＝1时，2a＋1＝3，a2＋2a＝3，所以B＝{3，3，2}，不满足集合元素的互异性，舍去； ②当a＝－3时，2a＋1＝－5，a2＋2a＝3，a2＋2a－1＝2，所以B＝{－5，2，3}． 故A∪B＝{－5，2，3，5}． B级 能力提升 1．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠?，若A∪B＝A，则( ) 16 人教A版高中数学必修1同步检测 A．－3≤m≤4 B．－3＜m＜4 C．2＜m＜4 D．2＜m≤4 解析：因为A∪B＝A，所以B?A.又B≠?， ?m＋1≥－2，所以? ?2m－1≤7，?即2 ?m＋1<2m－1，答案：D 2．设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠?，则实数________． 解析：因为N＝{x|2x＋k≤0}＝? ??x|x≤－k?2??， 且M∩N≠?，所以－k 2≥－3得k≤6. 答案：{k|k≤6} 3．已知集合A＝{x|x2－4x－5≥0}，集合B＝{x|2a≤x≤a＋2}．(1)若a＝－1，求A∩B和A∪B； (2)若A∩B＝B，求实数a的取值范围． 解：(1)A＝{x|x≤－1或x≥5}，B＝{x|－2≤x≤1}， 所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}， A∪B＝{x|x≤1或x≥5}． (2)因为A∩B＝B，所以B?A. ①若B＝?，则2a>a＋2，得a>2； ②若B≠?，则???a≤2，??a≤2， ??a＋2≤－1或??? 2a≥5，所以a≤－3. 综上知a>2或a≤－3. 17 k的取值范围为 人教A版高中数学必修1同步检测 第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.1.3 集合的基本运算 第2课时 补集及集合运算的综合应用 A级 基础巩固 一、选择题 1．(2016·全国Ⅲ卷)设集合A＝{0，2，4，6，8，10}，B＝{4，8}，则?AB＝( ) A．{4，8} B．{0，2，6} C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，10} 解析：因为集合A＝{0，2，4，6，8，10}，B＝{4，8}， 所以?AB＝{0，2，6，10}． 答案：C 2．设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为( ) A．{2} C．{1，3，5} B．{4，6} D．{4，6，7，8} 解析：由题图可知阴影部分表示的集合为(?UA)∩B，由题意知?UA＝{4，6，7，8}， 所以(?UA)∩B＝{4，6}．故选B. 答案：B 3．(2016·浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2， 18 人教A版高中数学必修1同步检测 4}，则(?UP)∪Q＝( ) A．{1} C．{1，2，4，6} B．{3，5} D．{1，2，3，4，5} 解析：因为?UP＝{2，4，6}，又Q＝{1，2，4}， 所以(?UP)∪Q＝{1，2，4，6}，故选C. 答案：C 4．设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则(?RM)∩N＝( ) A．{x|x<－2} C．{x|x<1} B．{x|－2 解析：由题可知?RM＝{x|x<－2或x>2}， 故(?RM)∩N＝{x|x<－2}． 答案：A 5．已知S＝{x|x是平行四边形或梯形}，A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}．下列式子不成立的是( ) A．B∩C＝{x|x是正方形} B．?AB＝{x|x是邻边不相等的平行四边形} C．?SA＝{x|x是梯形} D．A＝B∪C 解析：根据平行四边形和梯形的概念知，选项D错误． 答案：D 二、填空题 6．设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则?U(A∩B)＝________． 解析：因为A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，所以A∩B＝{3}，故?U(A∩B)＝{1，2，4，5}． 答案：{1，2，4，5} 7．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，那么?UA的子集个数有________ 19 人教A版高中数学必修1同步检测 个． 解析：?UA＝{4，5}，子集有?，{4}，{5}，{4，5}，共4个． 答案：4 8．已知全集U＝{2，4，a2－a＋1}，A＝{a＋1，2}，?UA＝{7}，则a＝________． 解析：由?UA＝{7}，得4∈A，故a＋1＝4，即a＝3，此时，U＝{2，4，7}，满足A?U，故a＝3. 答案：3 三、解答题 9．设全集是数集U＝{2，3，a2＋2a－3}，已知A＝{b，2}，?UA＝{5}，求实数a，b的值． 解：因为?UA＝{5}，所以5∈U且5?A. 2??a＋2a－3＝5， 又b∈A，所以b∈U，由此得? ?b＝3，? ??a＝2，??a＝－4， 解得?或?经检验都符合题意． ???b＝3?b＝3. 10．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2 (2)若A∩C≠?，求a的取值范围． 解：(1)因为A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2 所以(?RA)∩B＝{x|x<3或x≥7}∩{x|2 B级 能力提升 20 人教A版高中数学必修1同步检测 1.设全集U是实数集R，M＝{x|x<－2，或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为( ) A．{x|－2≤x<1} C．{x|x≤2，或x>3} B．{x|－2≤x≤3} D．{x|－2≤x≤2} 解析：阴影部分所表示的集合为?U(M∪N)＝(?UM)∩(?UN)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1或x>3}＝{x|－2≤x<1}．故选A. 答案：A 2．已知集合A＝{0，2，4，6}，?UA＝{－1，1，－3，3}，?UB＝{－1，0，2}，则集合B＝______________． 解析：∵?UA＝{－1，1，－3，3}， ∴U＝{－1，1，0，2，4，6，－3，3}， 又?UB＝{－1，0，2}， ∴B＝{1，4，6，－3，3}． 答案：{1，4，6，－3，3} ?1??3．设全集U＝－3，5，－3?，集合A＝{x|3x2＋px－5＝0}，B＝{x|3x2＋10x＋q＝0}，???1? 且A∩B＝?－3?.求?UA，?UB. ?? ?1?11 解：因为A∩B＝?－3?，所以－∈A且－∈B， 33???1?21 所以3?－3?－p－5＝0， 3???1?21 3?－3?－×10＋q＝0， 3?? 解得p＝－14，q＝3. 21 人教A版高中数学必修1同步检测 ?1? 故A＝{x|3x2－14x－5＝0}＝?－3，5?， ? ? ?1? B＝{x|3x2＋10x＋3＝0}＝?－3，－3?， ? ? 所以?UA＝{－3}，?UB＝{5}． 22 人教A版高中数学必修1同步检测 第一章 集合 1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念 A级 基础巩固 一、选择题 2x 1．若f(x)＝2，则f(1)的值为( ) x＋21122A. B．－ C. D．－ 33332×12解析：f(1)＝2＝. 1＋23答案：C 2．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，则集合A不可能是( ) A．{1} C．{－1，1} B．{－1} D．{－1，0} 解析：由函数的定义可知，x＝0时，集合B中没有元素与之对应，所以，集合A不可能是{－1，0}． 答案：D 3．已知函数y＝f(x)的定义域为[－1，5]，则在同一坐标系中，函数f(x)的图象与直线x＝1的交点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．0或1 解析：因为1在定义域[－1，5]上，所以f(1)存在且唯一． 答案：B 4．下列四组函数中相等的是( ) 23 人教A版高中数学必修1同步检测 A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2 B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2 C．f(x)＝x2，g(x)＝|x| D．f(x)＝0，g(x)＝x－1＋1－x 解析：A项，因为f(x)＝x(x∈R)与g(x)＝(x)2(x≥0)两个函数的定义域不一致，所以两个函数不相等； B项，因为f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2两个函数的对应关系不一致，所以两个函数不相等；易知C正确；D项，f(x)＝0，g(x)＝x－1＋1－x两个函数的定义域不一致，所以两个函数不相等．故选C. 答案：C 5．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( ) 解析：A中值域不是N，B中当x＝1时，N中无元素与之对应，易知C满足题意，D不满足唯一性． 答案：C 二、填空题 6．集合{x|－1≤x<0或2 1 7．设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，则g(f(2))＝________． x＋2解析：因为f(2)＝2×22＋2＝10， 11 所以g(f(2))＝g(10)＝＝. 10＋212 24 人教A版高中数学必修1同步检测 答案： 1 12 3 的定义域是___________________． x2－x－6 8．函数y＝x＋2－ ???x＋2≥0，?x≥－2， 解析：要使函数有意义，x必须满足?2即?即x>－2且 ??x－x－6≠0，??x≠－2且x≠3， x≠3.所以函数的定义域为(－2，3)∪(3，＋∞)． 答案：(－2，3)∪(3，＋∞) 三、解答题 9．已知函数f(x)＝3x2＋5x－2. (1)求f(3)，f(a＋1)的值； (2)若f(a)＝－4，求a的值． 解：(1)易知f(3)＝3×32＋5×3－2＝40， f(a＋1)＝3(a＋1)2＋5(a＋1)－2＝3a2＋11a＋6. (2)因为f(a)＝3a2＋5a－2，且f(a)＝－4， 所以3a2＋5a－2＝－4，所以3a2＋5a＋2＝0， 2 解得a＝－1或a＝－. 310．求下列函数的值域． (1)y＝x－1； (2)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)； 2x＋1(3)y＝； x－3(4)y＝2x－x－1. 解：(1)因为x≥0，所以x－1≥－1. 所以y＝x－1的值域为[－1，＋∞)． 25 人教A版高中数学必修1同步检测 (2)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①)，可得函数的值域为[2，6)． 图① 2x＋12（x－3）＋777(3)y＝＝＝2＋，显然≠0，所以y≠2.故函数的值域为(－ x－3x－3x－3x－3∞，2)∪(2，＋∞)． ?1?215 (4)设t＝x－1，则t≥0且x＝t＋1，所以y＝2(t＋1)－t＝2?t－4?＋，由t≥0， 8?? 2 2 ?15? ?再结合函数的图象(如图②)，可得原函数的值域为8，＋∞?. ?? 图② B级 能力提升 1．函数y＝x－1＋3的定义域和值域分别为( ) A．[0，＋∞)、[3，＋∞) B．[1，＋∞)、[3，＋∞) C．[0，＋∞)、(3，＋∞) D．[1，＋∞)、(3，＋∞) 解析：由于x－1≥0，得x≥1，所以函数y＝x－1＋3的定义域为[1，＋∞)；又因为x－1≥0， 所以y＝x－1＋3≥3，所以值域为[3，＋∞)． 答案：B 26 人教A版高中数学必修1同步检测 2．若f(x)＝ax2－2，a为正实数，且f(f(2))＝－2，则a＝________． 解析：因为f(2)＝a·(2)2－2＝2a－2， 所以f(f(2))＝a·(2a－2)2－2＝－2， 所以a·(2a－2)2＝0. 又因为a为正实数，所以2a－2＝0，所以a＝2答案： 2 x2 3．已知函数f(x)＝. 1＋x2 ?1??1? (1)求f(－2)＋f?－2?，f(5)＋f?5?的值； ? ? ?? ?1? (2)求证f(x)＋f?x?是定值． ?? 2. 2 （－2）2?1?x2 (1)解：因为f(x)＝＋＝1. 2，所以f(－2)＋f?－?＝?2?1＋（－2）21＋x?1?2 1＋?－2?? ? ?1?52 f(5)＋f?5?＝＋ ??1＋52?1?2???5? ?1?2?－??2? ＝1. 2?1? 1＋?5? ?? 1＋x2x21 ＝＝＝1. 2＋1＋x21＋x2?1?21＋x 1＋?x? ?? ?1?2???x? ?1?x2 (2)证明：f(x)＋f?x?＝＋ ??1＋x2 27 人教A版高中数学必修1同步检测 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法 A级 基础巩固 一、选择题 1．以下形式中，不能表示“y是x的函数”的是( ) A. x y 1 4 2 3 3 2 4 1 B.C．y＝x2 D．x2＋y2＝1 解析：根据函数的定义可知，x2＋y2＝1不能表示“y是x的函数”． 答案：D ?1?12??x－2．已知x≠0，函数f(x)满足fx?＝x＋x2，则f(x)的表达式为( ) ? 1 A．f(x)＝x＋ xC．f(x)＝x 2 B．f(x)＝x2＋2 ?1?2 D．f(x)＝?x－x? ?? ?1?1?1?22 解析：因为f?x－x?＝x＋2＝?x－x?＋2， x???? 28 人教A版高中数学必修1同步检测 所以f(x)＝x2＋2. 答案：B 3．已知f(x)的图象恒过点(1，1)，则f(x－4)的图象恒过点( ) A．(－3，1) C．(1，－3) B．(5，1) D．(1，5) 解析：由f(x)的图象恒过点(1，1)知，f(1)＝1，即f(5－4)＝1.故f(x－4)的图象恒过点(5，1)． 答案：B 4．已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)的解析式是( ) 1 A．f(x)＝x＋ 41 C．f(x)＝－x＋ 4 1 B．f(x)＝－2x＋ 41 D．f(x)＝－x＋ 2 解析：因为f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，① 所以把①中的x换成－x得 f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1.② 1 由①②解得f(x)＝－x＋. 4答案：C 5.在函数y＝|x|(x∈[－1，1])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴、直线x＝－1及x＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为( ) 29 人教A版高中数学必修1同步检测 解析：由题意知，当t>0时，S的增长会越来越快，故函数S图象在y轴的右侧的切线斜率会逐渐增大． 答案：B 二、填空题 6．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出： x f(x) x g(x) 1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 1 则f[g(1)]的值为______________；当g[f(x)]＝2时，x＝____________． 解析：f[g(1)]＝f(3)＝1. 因为g[f(x)]＝2， 所以f(x)＝2， 所以x＝1. 答案：1 1 7．已知f(x)是一次函数，且其图象过点A(－2，0)，B(1，5)两点，则f(x)＝__________． 解析：据题意设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 又图象过点A(－2，0)，B(1，5)． ??－2a＋b＝0，510 ?所以解得a＝，b＝. 33?a＋b＝5，? 510 所以f(x)＝x＋. 33 30 人教A版高中数学必修1同步检测 510 答案：x＋ 33 8.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(4，2)，则f(f(f(2)))＝________. 解析：f(f(f(2)))＝f(f(0))＝f(4)＝2. 答案：2 三、解答题 9．已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的两根平方和为10，图象过(0，3)点，求f(x)的解析式． 解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． f（0）＝c，?? 由f(0)＝f(4)知?f（4）＝16a＋4b＋c， ??f（0）＝f（4），得4a＋b＝0. ① 又图象过(0，3)点，所以c＝3.② 设f(x)＝0的两实根为x1，x2， bc 则x1＋x2＝－，x1x2＝. aa所以 ?b?222 x1＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝?－a?? 2c －2·＝10. a? 即b2－2ac＝10a2. ③ 由①②③得a＝1，b＝－4，c＝3. 所以f(x)＝x2－4x＋3. 10．画出二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象解答下列问题： (1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小； 31 人教A版高中数学必修1同步检测 (2)若x1＜x2＜1，比较f(x1)与f(x2)的大小； (3)求函数f(x)的值域． 解：f(x)＝－(x－1)2＋4的图象，如图所示： (1)f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0， 所以f(1)＞f(0)＞f(3)． (2)由图象可以看出， 当x1＜x2＜1时， 函数f(x)的函数值随着x的增大而增大， 所以f(x1)＜f(x2)． (3)由图象可知二次函数f(x)的最大值为f(1)＝4，则函数f(x)的值域为(－∞，4]． B级 能力提升 ?1?1 1．若2f(x)＋f?x?＝2x＋(x≠0)，则f(2)＝( ) 2?? 5243 A. B. C. D. 2534 ?1?9?1?13 ????解析：令x＝2，得2f(2)＋f2＝，令x＝，得2f2＋f(2)＝，消去 22??2?? ?1?5 ??f2得f(2)＝. 2?? 答案：A 2．函数y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)的值域是________． 解析：画出函数的图象，如图所示，观察图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[f(2)，f(5))，即函数的值域是[2，11)． 32 人教A版高中数学必修1同步检测 答案：[2，11) 3.用长为l的铁丝弯成下部为矩形、上部为半圆形的框架(如图所示)，若矩形底边AB长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并写出其定义域． 解：因为AB＝2x， ︵ 所以CD的长为πx， l－2x－πxAD＝， 2 ?π?2l－2x－πxπx2 所以y＝2x·＋＝－?＋2?x＋lx. 22?2? ?2x>0，l 由?l－2x－πx解得0 π＋2>0，?2 ?l? 故函数的定义域为?0，π＋2?. ?? 33 人教A版高中数学必修1同步检测 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 1.2.2 函数的表示法 第2课时式 分段函数及映射 A级 基础巩固 一、选择题 1．设f(x)＝???x＋2，x≥0， ?? 1，x<0，则f[f(－1)]＝( ) A．3 B．1 C．0 D．－1 解析：因为f(x)＝???x＋2，x≥0， ?? 1，x<0，所以f[f(－1)]＝f(1)＝1＋2＝3.故选A. 答案：A 2．已知函数f(x)＝???x＋1，x∈[－1，0]， ??x2＋1，x∈（0，1]， 则函数f(x)的图象是( ) 解析：当x＝－1时，y＝0，即图象过点(－1，0)，D错；当x＝0时，y＝1，即图象(0，1)，C错；当x＝1时，y＝2，即图象过点(1，2)，B错．故选A. 答案：A 3．下列集合M到集合P的对应f是映射的是( ) A．M ＝{－2，0，2}，P ＝ {－4，0，4}，f: M中数的平方 B．M ＝{0，1}，P ＝ {－1，0，1}，f：M中数的平方根 34 过点 人教A版高中数学必修1同步检测 C．M ＝Z，P ＝Q，f：M中数的倒数 D．M＝R，P＝{x|x>0}，f：M中数的平方 解析：根据映射的概念可知选项A正确． 答案：A 2 ??2x－x（0 4．函数f(x)＝?2的值域为( ) ?x＋6x（－2≤x≤0）? A．R C．[－8，1] B．[－9，＋∞) D．[－9，1] 解析：当－2≤x≤0时，函数f(x)的值域为[－8，0]； 当0 5．已知集合A中元素(x，y)在映射f下对应B中元素(x＋y，x－y)，则B中元素(4，－2)在A中对应的元素为( ) A．(1，3) C．(2，4) B．(1，6) D．(2，6) ???x＋y＝4，?x＝1， 解析：由题意得?解得? ???x－y＝－2，?y＝3. 答案：A 二、填空题 6．设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________． 解析：因为f：x→ax－1为从集合A到B的映射，f(2)＝3，所以2a－1＝3，得a＝2，所以f(3)＝2×3－1＝5. 答案：5 7．已知函数f(x)＝?则f[f(－2)]＝________． 6 ?x＋x－6，x>1， 35 2x?，x≤1， 人教A版高中数学必修1同步检测 61 解析：f(－2)＝(－2)2＝4，f(f(－2))＝f(4)＝4＋－6＝－. 421 答案：－ 2 x，x≤－2，?? 8．函数f(x)＝?x＋1，－2 ??3x，x≥4，解析：当a≤－2时，f(a)＝a<－3，此时不等式的解集是(－∞，－当－2 ?f（x＋1），－2 ?2x＋1，0≤x<2，? ?x2－1，x≥2. (1)求f???－3? 2?? 的值； (2)若f(a)＝4且a>0，求实数a的值． 解：(1)由题意得，f??3? ?－2?? ＝f??3??1? ?－2＋1??＝f??－2?? ＝f???－1?2＋1??＝f??1??2?1? ＝2×2＋1＝2. (2)当0 2 ， 当a≥2时，由f(a)＝a2－1＝4，得a＝5或a＝－5(舍去)． 36 3)； 人教A版高中数学必修1同步检测 3 综上所述，a＝或a＝5. 2 2??x（－1≤x≤1）， 10．已知f(x)＝? ?1（x<－1或x>1）.? (1)画出f(x)的图象； (2)求f(x)的定义域和值域． 解：(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示． (2)由条件知， 函数f(x)的定义域为R. 由图象知，当－1≤x≤1时， f(x)＝x2的值域为[0，1]， 当x>1或x<－1时，f(x)＝1， 所以f(x)的值域为[0，1]． B级 能力提升 ??x－2（x≥10）， 1．设f(x)＝?则f(5)的值为( ) ?f（f（x＋6））（x<10），? A．10 B．11 C．12 D．13 解析：f(5)＝f(f(5＋6))＝f(11－2)＝f(f(9＋6))＝f(13)＝13－2＝11. 答案：B ??b，a≥b， 2．若定义运算a?b＝?则函数f(x)＝x?(2－x)的解析式是______________． ??a，a 解析：当x<2－x，即x<1时，f(x)＝x； 当x≥2－x，即x≥1时，f(x)＝2－x. 37
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