449奇数，经过“F①”变为1352；1352是偶数，经过“F②”变为169， 169是奇数，经过“F①”变为512，512是偶数，经过“F②”变为1， 1是奇数，经过“F①”变为8，8是偶数，经过“F②”变为1，
我们发现之后的规律了，经过多次运算，它的结果将出现1、8的交替循环。
再看运算的次数是449，奇数次。因为第四次运算后都是奇数次运算得到8，偶数次运算得到1， 所以，结果是8。 三、小结
用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。希望同学们能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。
第三讲：与一元一次方程有关的问题 一、知识回顾
一元一次方程是我们认识的第一种方程，使我们学会用代数解法解决一些用算术解法不容易解决的问题。一元一次方程是初中代数的重要内容，它既是对前面所学知识——有理数部分的巩固和深化，又为以后的一元二次方程、不等式、函数等内容打下坚实的基础。 典型例题：
二、典型例题
2x?kx?3k?2=1的解是x=-1，则k的值是（ ） 例1．若关于x的一元一次方程3213A．7 B．1 C．-11 D．0
分析：本题考查基本概念“方程的解”
2x?kx?3k?2=1的解， 因为x=-1是关于x的一元一次方程32?(?1)?k?1?3k13??132所以，解得k=-11
1?例2．若方程3x-5=4和方程
3a?x?03的解相同，则a的值为多少？
分析：题中出现了两个方程，第一个方程中只有一个未知数x，所以可以解这个方程求得x的值；第二个方程中有a
与x两个未知数，所以在没有其他条件的情况下，根本没有办法求得a与x的值，因此必须分析清楚题中的条件。因为两个方程的解相同，所以可以把第一个方程中解得x代入第二个方程，第二个方程也就转化为一元一次方程了。 解：3x-5=4， 3x=9， x=3
1? 因为3x-5=4与方程
3a?x?03的解相同
1?所以把x=3代人
3a?x?03中
1?即
3a?3?03 得3-3a+3=0，-3a=-6，a=2
例3.（方程与代数式联系）
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ab a、b、c、d为实数，现规定一种新的运算 cd1224?ad?bc.
?18（1）则?12的值为 ；（2）当(1?x)5分析：（1）即a=1，b=2，c=-1，d=2，
ab 时，x= .
因为cd?ad?bc12，所以?12=2-（-2）=4
4?182 （2）由(1?x)5 得：10-4（1-x）=18
所以10-4+4x=18，解得x=3
例4．（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ）
不考虑瓶子的厚度.
abhhA．a?b B．a?b C．a?b D．a?h
分析：左右两个图中墨水的体积应该相等，所以这是个等积变换问题，我们可以用方程的思想解决问题 解：设墨水瓶的底面积为S，则左图中墨水的体积可以表示为Sa 设墨水瓶的容积为V，则右图中墨水的体积可以表示为V-Sb 于是，Sa= V-Sb，V= S(a+b)
SaSaa??S(a?b)a?b 由题意，瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的比为V
例5． 小杰到食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多，就站在A窗口队伍的里面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。此时，若小李迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队，将比继续在A窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队。 分析：“B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人”相当于B窗口前的队伍每分钟减少1人，
1题中的等量关系为：小李在A窗口排队所需时间=转移到B窗口排队所需时间+ 2
解：设开始时，每队有x人在排队，
2分钟后，B窗口排队的人数为：x-6×2+5×2=x-2
xx?21?2??62 根据题意，可列方程：4 去分母得 3x=24+2(x-2)+6
去括号得3x=24+2x-4+6
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移项得3x-2x=26 解得x=26
所以，开始时，有26人排队。 课外知识拓展：
一、含字母系数方程的解法： 思考：ax?b是什么方程？
在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a≠0，所以ax?b不是一元一次方程 我们把它称为含字母系数的方程。 例6．解方程ax?b
x?
解：（分类讨论）当a≠0时，
b
a
当a=0，b=0时，即 0x=0，方程有任意解 当a=0，b≠0时，即 0x=b，方程无解 即方程ax?b的解有三种情况。
例7．问当a、b满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。 分析：先解关于x的方程，把x用a、b表示，最后再根据系数情况进行讨论。 解： 将原方程移项得2x+bx=1+a-5，合并同类项得：(2+b)x=a-4
x? 当2+b0，即b-2时，方程有唯一解
a?42?b，
当2+b=0且a-4=0时，即b=-2且a=4时，方程有无数个解， 当2+b=0且a-4≠0时，即b=-2且a≠4时，方程无解，
x?11?xa?b??abab 例 8． 解方程
分析：根据题意，ab≠0，所以方程两边可以同乘ab
去分母，得b(x-1)-a(1-x)=a+b 去括号，得bx-b-a+ax=a+b 移项，并项得 (a+b)x=2a+2b
x? 当a+b≠0时，
2a?2ba?b=2
当a+b=0时，方程有任意解
说明：本题中没有出现方程ax?b中的系数a=0，b≠0的情况，所以解的情况只有两种。
二、含绝对值的方程解法 例9． 解下列方程
5x?2?3
解法1：（分类讨论）
2当5x-2>0时，即x>5， 5x-2=3， 5x=5， x=1
33
2 因为x=1符合大前提x>5，所以此时方程的解是x=1
2当5x-2=0时，即x=5， 得到矛盾等式0=3，所以此时方程无解 21?当5x-2<0时，即x<5， 5x-2= -3，x=5
121? 因为x=5符合大前提x<5，所以此时方程的解是x=5
?1综上，方程的解为x=1 或x=5
?注：求出x的值后应注意检验x是否符合条件 解法2：（整体思想） 联想： 类比：
a?3时，a=±3
，则5x-2=3或5x-2=-3
5x?2?31解两个一元一次方程，方程的解为x=1 或x=5
?
2x?1?5?13例10． 解方程
解：去分母 2| x-1|-5=3
移项 2| x-1|=8 | x-1|=4 所以x-1=4或x-1=-4 解得x=5或x=-3 例11． 解方程
x?1??2x?1
分析：此题适合用解法2
2 当x-1>0时，即x>1，x-1=-2x+1，3x=2，x=3 2因为x=3不符合大前提x>1，所以此时方程无解
当x-1=0时，即x=1，0=-2+1，0 =-1，此时方程无解 当x-1<0时，即x<1，1-x=-2x+1，x=0
因为x=0符合大前提x<1，所以此时方程的解为x=0 综上，方程的解为x=0 三、小结
1、体会方程思想在实际中的应用 2、体会转化的方法，提升数学能力
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第四讲：图形的初步认识 一、相关知识链接：
1．认识立体图形和平面图形
我们常见的立体图形有长方体、正方体、球、圆柱、圆锥，此外，棱柱，棱锥也是常见的几何体。我们常见的平面图形有正方形、长方形、三角形、圆 立体图形和平面图形关系
立体图形问题常常转化为平面图形来研究，常常会采用下面的作法 （1）画出立体图形的三视图
立体图形的的三视图是指正视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）得到的三个平面图形。 （2）立体图形的平面展开图 常见立体图形的平面展开图
圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥、正方体（共十一种） 二、典型问题：
（一）正方体的侧面展开图（共十一种） 分类记忆：
第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种。
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。
第四类，两排各三个，只有一种。
基本要求：
1. 在右面的图形中是正方体的展开图的有（ C ）
（A）3种 （B）4种 （C）5种 （D）6种
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