(完整版)哈工大-数值分析上机实验报告

s=0;

for r=k+1:n; s=s+A(k,r)*x(r); end

t=(A(k,n+1)-s) x(k)=(A(k,n+1)-s)/A(k,k) end

结果分析和讨论：

例：求解方程。其中为一小数，当时，分别采用列主元和不列主元的Gauss消去法求解，并比较结果。

记Emax为求出的解代入方程后的最大误差，按要求，计算结果如下：

当时，不选主元和选主元的计算结果如下，其中前一列为不选主元结果，后一列为选主元结果，下同。

0. 91 0. 51 2. 72 2. 63 2. 51 2. 21 Emax= 9. 624e-010，0

此时，由于不是很小，机器误差就不是很大，由Emax可以看出不选主元的计算结果精度还可以，因此此时可以考虑不选主元以减少计算量。

当时，不选主元和选主元的计算结果如下

1. 77 0. 48 1. 07 2. 74 3. 31 2. 09 Emax= 2. 668e-005，0

此时由Emax可以看出不选主元的计算精度就不好了，误差开始增大。

当时，不选主元和选主元的计算结果如下

1. 20 1. 00 1. 66 2. 00 3. 11 000 Emax= 0. 03，0

此时由Emax可以看出，不选主元的结果应该可以说是不正确了，这是由机器误差引起的。

当时，不选主元和选主元的计算结果如下

NaN 1 NaN 2 NaN 3 Emax=NaN, 0

不选主元时，程序报错：Warning: Divide by zero.。这是因为机

器计算的最小精度为10-15，所以此时的就认为是0，故出现了错误现象。而选主元时则没有这种现象，而且由Emax可以看出选主元时的结果应该是精确解。 结论：

采用Gauss消去法时，如果在消元时对角线上的元素始终较大（假如大于10-5），那么本方法不需要进行列主元计算，计算结果一般就可以达到要求，否则必须进行列主元这一步，以减少机器误差带来的影响，使方法得出的结果正确。

实验报告三

题目： Rung现象产生和克服

摘要：由于高次多项式插值不收敛，会产生Runge现象，本实验在给出具体的实例后，采用分段线性插值和三次样条插值的方法有效的克服了这一现象，而且还取的很好的插值效果。 前言：（目的和意义）

1. 深刻认识多项式插值的缺点。 2. 明确插值的不收敛性怎样克服。 3. 明确精度与节点和插值方法的关系。 数学原理：

在给定n+1个节点和相应的函数值以后构造n次的Lagrange插值多项式，实验结果表明（见后面的图）这种多项式并不是随着次数的升高对函数的逼近越来越好，这种现象就是Rung现象。

解决Rung现象的方法通常有分段线性插值、三次样条插值等方法。

分段线性插值：

设在区间[a, b]上，给定n+1个插值节点

a=x0

和相应的函数值y0，y1，…，yn，，求作一个插值函数，具有如下性质：