欢迎使用 第2讲 圆锥曲线
[考情考向分析] 圆锥曲线中的基本问题一般以定义、标准方程、几何性质等作为考查的重点，多为填空题．椭圆的有关知识为B级要求，双曲线、抛物线的有关知识为A级要求．
热点一 圆锥曲线的定义和标准方程
x2y2
例1 (1)(2018·江苏省南京师大附中模拟)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线
ab方程是y＝2x，它的一个焦点与抛物线y＝20x的焦点相同，则双曲线的方程是________． 答案
2
x2
5
－＝1 20
y2
bx2y222222
解析 由题意得＝2，c＝5，再由c＝a＋b得a＝5，b＝20，故双曲线的方程是－＝
a520
1.
(2)(2018·南通等六市调研)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C与双曲线x－＝1有
3公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则双曲线C的焦距为________． 答案 43
解析 ∵双曲线C 与双曲线x－＝1有公共的渐近线，
3∴设双曲线C的方程为x－＝λ(λ≠0)，
3∵双曲线C经过点P(－2，3)， ∴λ＝4－1＝3，
∴双曲线C的方程为－＝1.
39∴双曲线C的焦距为23＋9＝43.
思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义要求PF1＋PF2＞F1F2，双曲线的定义中要求|PF1－PF2|＜F1F2.(2)注意数形结合，画出合理草图．
2
2
2
y2
y2
y2
x2y2
y2
跟踪演练1 (1)已知方程2－2＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，
m＋n3m－n则n的取值范围是________．
x2
部编本 欢迎使用 答案 (－1,3)
y22222
解析 ∵方程2－2＝1表示双曲线，∴(m＋n)·(3m－n)>0，解得－m m＋n3m－n曲线性质，知c＝(m＋n)＋(3m－n)＝4m(其中c是半焦距)， ∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1 (2)如图，过抛物线y＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若BC＝2BF，且AF＝3，则此抛物线方程为________． 2 2 2 2 2 x2 答案 y＝3x 解析 如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D， 2 设准线与x轴的交点为G，设BF＝a， 则由已知得BC＝2a， 由抛物线定义，得BD＝a，故∠BCD＝30°， 在Rt△ACE中， ∵AE＝AF＝3，AC＝3＋3a， 由2AE＝AC，得3＋3a＝6， 从而得a＝1，FC＝3a＝3. 13 ∴p＝FG＝FC＝， 22因此抛物线方程为y＝3x. 热点二 圆锥曲线的几何性质 2 x2y2 例2 (1)已知O为坐标原点，F是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的 ab左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为________． 部编本 欢迎使用 1答案 3 解析 设M(－c，m)，则E?0， ?? am? ，OE的中点为D， a－c?? 则D?0，?，又B，D，M三点共线， ?2?a－c?? ? am? mm1 所以＝，a＝3c，e＝ 2?a－c?a＋c3 x2y2 (2)双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该 ab双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________. 答案 2 解析 设B为双曲线的右焦点，如图所示．∵四边形OABC为正方形且边长为2， ∴c＝OB＝22. π 又∠AOB＝， 4∴＝tan 2 2 baπ ＝1，即a＝b. 4 2 又∵a＋b＝c＝8，∴a＝2. 思维升华 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于a，b， c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的 方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等． x2y2 跟踪演练2 (1)已知双曲线E：2－2＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB， abCD的中点为E的两个焦点，且2AB＝3BC，则E的离心率是________． 答案 2 2b2b22222 解析 由已知得AB＝，BC＝2c，∴2×＝3×2c，又∵b＝c－a，整理得2c－3ac－2a2 2 aa＝0，两边同除以a得2??－3－2＝0，即2e－3e－2＝0， a1 解得e＝2或e＝－(舍去)． 2 2 ?c?2?? ca2 x2y2 (2)(2018·江苏省盐城中学模拟)已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆2＋2＝1(a>b>0)的两个焦 ab部编本 欢迎使用 →→2 点，P为椭圆上一点，且PF1·PF2＝c，则此椭圆离心率的取值范围是________. 答案 ? 2??3 ，? 2??3 →→2222 解析 设P(x，y)，则PF1·PF2＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x－c＋y＝c，(*) b22 将y＝b－2x代入(*)式， a2 2 ?2c－b?a?3c－a?a解得x＝＝， 22 2 222222 cc又x∈[0，a]，∴2c≤a≤3c， ∴e＝∈? 22222 c?32? ，?. a?32? 热点三 直线与圆锥曲线 x2y2 例3 已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4yab4 ＝0交椭圆E于A，B两点．若AF＋BF＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率 5的取值范围是________． 答案 ?0， ??3?? 2? 解析 设左焦点为F0，连结F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形． ∵AF＋BF＝4， ∴AF＋AF0＝4，∴a＝2. 4b4 设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2. 55 c离心率e＝＝ac2＝a2a2－b2 ＝a2 4－b?3? ∈?0，?. 42?? 2 思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程组求解点的坐标或利用根与系数的关系、设而不求等求解，解题中要注意使用条件Δ≥0.涉及中点问题也可以用点差法． x2y2 跟踪演练3 (1)过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐 ab→→ 近线于R，Q两点，则PR·PQ的值为________． 答案 a 2 部编本 欢迎使用 →→?a?a??a???a?解析 设P(x，y)，则R?y，y?，Q?－y，y?，于是PR·PQ＝?y－x，0?· ?－y－x，0? ?b??b??b??b? ?a??a?2a212222ab2 ＝?y－x?·?－y－x?＝x－2y＝2(bx－ay)＝2＝a. bbb?b??b? x2y2y22 (2)已知椭圆C1：2＋2＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线 ab4 与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b＝________. 答案 2 2 2 222 解析 由双曲线x－＝1知渐近线方程为y＝±2x， 4又∵椭圆与双曲线有公共焦点， ∴椭圆方程可化为bx＋(b＋5)y＝(b＋5)b， ?b＋5?b联立渐近线与椭圆方程消去y，得x＝2， 5b＋20 2 2 2 22 2 2 2 2 y2 又∵C1将线段AB三等分， ∴1＋2×2 2 ?b＋5?b2a122 ＝，解得b＝.∴b＝. 2 5b＋20322 22 x2y2 1．(2018·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c,0) ab到一条渐近线的距离为答案 2 解析 双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，焦点F(c,0)到渐近线的距离d＝ 3 c， 2 |bc| 3 c，则其离心率的值为________． 2 b＋a22 ＝b. ∴b＝1c22 ∴a＝c－b＝c，∴e＝＝2. 2a2．(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y＝1的右准线与它的两条渐近线分 3别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________． 答案 23 解析 渐近线方程为y＝± 33x，右准线方程为x＝， 32 x2 2 部编本
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