得到等腰△APE．再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．
（3）首先计算圆D与线段相切时，x的值，在画出圆D过E时，半径r的值，确定x的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定x的取值范围． 【解答】（1）证明：∵矩形ABCD， ∴∠ABE＝90°，AD∥BC， ∴∠PAF＝∠AEB， 又∵PF⊥AE，
∴∠PFA＝90°＝∠ABE，
∴△PFA∽△ABE． … （2）解：分二种情况：
①若△EFP∽△ABE，如图1，则∠PEF＝∠EAB， ∴PE∥AB，
∴四边形ABEP为矩形，
∴PA＝EB＝3，即x＝3． … ②若△PFE∽△ABE，则∠PEF＝∠AEB， ∵AD∥BC
∴∠PAF＝∠AEB， ∴∠PEF＝∠PAF． ∴PE＝PA． ∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点， Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3， ∴AE＝5， ∴EF＝AE＝， ∵△PFE∽△ABE， ∴
，
∴，
∴PE＝，即x＝．
． …
∴满足条件的x的值为3或
（3）如图3，当⊙D与AE相切时，设切点为G，连接DG， ∵AP＝x，
∴PD═DG＝6﹣x，
∵∠DAG＝∠AEB，∠AGD＝∠B＝90°， ∴△AGD∽△EBA， ∴∴＝x＝，
当⊙D过点E时，如图4，⊙D与线段有两个公共点，连接DE，此时PD＝DE＝5， ∴AP＝x＝6﹣5＝1，
∴当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，x满足的条件：x＝或0≤x＜1；
故答案为：x＝或0≤x＜1．…（12分）
， ，
【点评】本题是矩形和圆的综合题，考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质．特别注意和线段有一个公共点，不一定必须相切，也可以相交，但其中一个交点在线段外．
25．【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；
（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；
（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+ax+b有一个公共点M（1，0）， ∴a+a+b＝0，即b＝﹣2a，
∴y＝ax2+ax+b＝ax2+ax﹣2a＝a（x+）2﹣
，
∴抛物线顶点D的坐标为（﹣，﹣）；
（2）∵直线y＝2x+m经过点M（1，0）， ∴0＝2×1+m，解得m＝﹣2， ∴y＝2x﹣2， 则
，
得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2＝0， ∴（x﹣1）（ax+2a﹣2）＝0， 解得x＝1或x＝﹣2，
∴N点坐标为（﹣2，﹣6）， ∵a＜b，即a＜﹣2a， ∴a＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E， ∵抛物线对称轴为x＝﹣∴E（﹣，﹣3），
∵M（1，0），N（﹣2，﹣6）， 设△DMN的面积为S，
∴S＝S△DEN+S△DEM＝|（﹣2）﹣1|?|﹣（3）当a＝﹣1时，
抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+，
﹣（﹣3）|＝
，
＝﹣，
有，
﹣x2﹣x+2＝﹣2x， 解得：x1＝2，x2＝﹣1， ∴G（﹣1，2），
∵点G、H关于原点对称， ∴H（1，﹣2），
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