北京大学线性代数2016期末考试题

线性代数B期末试题－2016年秋

第一题（20分）：令??∈????[?]为一可逆矩阵，??,??∈???，定义分块矩阵

1) （10分）求??,??的一个充分必要条件使得矩阵??可逆。 2) （10分）在1)的条件满足的情况下求???1。 第二题（20分）：

1) （10分）求??的取值范围，使得矩阵

1??=???

??

??1??

????? 1

????=?

???

??? 0

第三题（15分）：令矩阵??,??∈????(?)。

1) （5分）设??是对称正定矩阵，??是对称矩阵，证明存在可逆矩阵P使得???????=??且???????为对角矩阵。 2) （10分）设??和??均为对称半正定矩阵，证明存在可逆矩阵P使得???????和???????为对角矩阵。如果??仅

是对称矩阵，同样的结论是否成立？如果成立，给出证明，否则给出一个反例。

第四题（15分）：令??＝??2+2??+1为线性空间 ??=<1,??????(??),??????(??)???????(??)> 上的线性变换，求其在基{1,sin (??),cos(??)?sin(??)}下的矩阵。

第五题（10分）：证明任何一个秩为??的矩阵总可以写成??个秩为1的矩阵之和。 第六题（10分）：在?2中，对于任意??,??∈?2，定义二元函数 求证(??,??)是?2的一个内积，并求?2关于该内积的一个标准正交基。

(??,??)=??1??1???1??2???2??1+4??1??2

正定。

2) （10分）判断下列矩阵是否正定（给出判断依据）：

320 132002?1??=?252 1?，B=?2400?，C=??12

02?1000110?1

00110 01103

00

?10? 2?1?12

第七题（10分）：对任一矩阵??，我们定义??????????(??)为矩阵??列向量组生成的线性空间，定义?????? (??)为齐次线性方程组????=0的解空间。?m是标准内积空间。

1) （5分）令??∈????×??(?)，证明 ??????(???)⊕??????????(??)=???。

命题：

a. 线性方程组????=??的任何一个解??都满足?????=??。

b. 存在一个向量??∈???，使得??=?????，??=?????。

2) （5分）令矩阵??∈????×??(?)，??∈??????????(??)????，??∈???，??∈?。证明下面的两个命题为等价