北京市延庆区2020届高三3月模拟考试 数学(含答案)

a2?1??0,?a?0,?a2?1?0，?a??1.

2a综上：a的取值范围是（??,?1]?(0,1]. 法2：?f(x)的最小值为f(?a)??1；

当x??a时，2ax??2a2，2ax?a2?1??a2?1?0， （论述不严谨，扣1分） ?x???,f(x)?0；

2即x?[0,?a]时，f(x)?[?1,a?1]；x?[?a，??)时，f(x)?[?1,0)

若f(x)存在最大值，则f(0)?a2?1?0，a??1.

综上：a的取值范围是（??,?1]?(0,1].

20．（本小题满分15分）

?c?2,?a?2，???21解：（Ⅰ）法一：依题意可得?2?2?1,解得?b?2， （试根法）

b?a??c?2.?a2?b2?c2.?x2y2?1. …3分 所以椭圆的标准方程为?42法二：设椭圆的右焦点为F1，则|CF1|?3，

?2a?4,a?2，

Qc?2， ?b?2，

x2y2?1. …3分 所以椭圆的标准方程为?42（Ⅱ）因为点Q在第一象限，所以直线l的斜率存在， …4分

设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y?kx，设直线 l与该椭圆的交点

为P(x1,y1),Q(x2,y2) 由?y?kx22可得(1?2k)x?4?0， …5分 22?x?2y?4??4， …6分

1?2k22 易知??0，且x1?x2?0,x1x2?22 则PQ?(x1?x2)?(y1?y2)?1?k(x1?x2)2?4x1x2 …7分

?1?k2?41?k20?4?4?3，

1?2k21?2k271414,k??x. …8分 (负舍)，所以直线l的方程为y?222 所以k?2用Q到原点距离公式（未用弦长公式）按照相应步骤给分， 设点Q(x1,y1)，QPQ?3, ?OQ?392, ?OQ?, 24279,y1?, ?x12?y12?, 又Qx12?2y12?4, 解得：?x1?224所以直线l的方程为y?14y1x. x，即y?2x1（Ⅲ）设M(xm,ym)，Q?x0,y0?，则P??x0,?y0?，易知0?x0?2，0?y0?1.

由A?2,0?，B(0,2)，所以直线AB的方程为x?2y?2?0. …9分 若使?BOP的面积是?BMQ的面积的4倍，只需使得OQ?4MQ， …10分

法一：即

xM3? ① . …11分 xQ4y?kx??设直线l的方程为y?kx，由? 得，M(2,2k) …12分

1?2k1?2k??x+2y?2?0由?y?kx22k 得，Q(,)， …13分 22221?2k1?2k?x?2y?4?2 代入①可得14k?182k?7?0，即：7k2?92k?7?0（约分后求解） 2

解得k?92?892?8x. …15分 ，所以y?1414uuuv4uuuuv4444法二：所以OQ?OM?(xm,ym)，即Q(xm,ym). …11分

33333y?kx??设直线l的方程为y?kx，由? 得，M(2,2k) …12分

1?2k1?2k??x?2y?2?022x0y088k,)，因为点Q在椭圆G上，所以??1， …13分 所以Q(423?32k3?32k 代入可得14k?182k?7?0，即：7k2?92k?27?0 2解得k?92?8， 1492?8x. …15分 14所以y?uuuuv3uuuv3333法三：所以OM?OQ?(x0,y0)，即M(x0,y0). …11分

444443328点M在线段AB上，所以x0?y0?2?0，整理得x0??2y0，① …12分

44322x0y0??1，② 因为点Q在椭圆G上，所以422把①式代入②式可得9y0?122y0?7?0，解得y0?22?1. …13分 3于是x0?84m2y92?8?2y0?，所以，k?0?. 33x01492?8x. …15分 14所以，所求直线l的方程为y?21.解：（Ⅰ）当a1?10时，{an}中的各项依次为10,5,8,4,2,1,4,2,1,L，

所以S3n?7n?16. …………………………3分 （Ⅱ）① 若a1是奇数，则a2?a1?3是偶数，a3?a2a1?3， ?22

由S3?17，得a1?(a1?3)?a1?3?17，解得a1?5，适合题意. 2a1?k. 2 ② 若a1是偶数，不妨设a1?2k(k?N*)，则a2? 若k是偶数，则a3?a2kk?，由S3?17，得2k?k??17，此方程无整数解； 222 若k是奇数，则a3?k?3，由S3?17，得2k?k?k?3?17，此方程无整数解. 综上，a1?5. …………………………8分 （Ⅲ）首先证明：一定存在某个ai，使得ai≤6成立.

否则，对每一个i?N*，都有ai?6，则在ai为奇数时，必有ai?2? 在ai为偶数时，有ai?2?aia?3?ai，或ai?2?i?ai. 24ai?3?ai； 2 因此，若对每一个i?N*，都有ai?6，则a1,a3,a5,L单调递减， 注意到an?N*，显然这一过程不可能无限进行下去， 所以必定存在某个ai，使得ai≤6成立.

经检验，当ai?2，或ai?4，或ai?5时，{an}中出现1； 当ai?6时，{an}中出现3，

综上，{an}中总有一项为1或3. …………………………14分