第二章 函数与基本初等函数I
第1讲 函数及其表示
一、选择题
1．下列函数中，与函数y＝1
A．y＝sin x C．y＝xe 解析 函数y＝
x
13x
定义域相同的函数为 ( )．
1
ln x
B．y＝x sin x
D．y＝ x
sin x
的定义域为{x|x≠0，x∈R}与函数y＝x的定义域相同，3x
故选D. 答案 D
2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有 ( )． A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析 由x2＋1＝1，得x＝0.由x2＋1＝3，得x＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个． 答案 C
3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )．
解析 根据函数的定义，观察得出选项B. 答案 B
|lg x|，0 4．已知函数f(x)＝?1 －x＋6，x>10.??2f(c)，则abc的取值范围是 ( )． A．(1,10) C．(10,12) B．(5,6) D．(20,24) 若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝ 解析 a，b，c互不相等，不妨设a 11 ∴lg a＝－lg b，即lg a＝lg b?a＝b， ∴ab＝1,10 ?a，a－b≤1， 5．对实数a和b，定义运算“?”：a?b＝? ?b，a－b＞1. 设函数f(x)＝(x－ 2 2)?(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )． 3??－1，? A．(－∞，－2]∪? 2??3??－1，－? B．(－∞，－2]∪? 4?? 1??1?? C.?－1，?∪?，＋∞? 4??4??3??1?? D.?－1，－?∪?，＋∞? 4??4?? 3 解析 当(x2－2)－(x－x2)≤1，即－1≤x≤时，f(x)＝x2－2； 23 当x2－2－(x－x2)＞1，即x＜－1或x＞时，f(x)＝x－x2， 2 ??x－2 ∴f(x)＝? ??x－x 2 2 3?? ?－1≤x≤?， 2?? 3?? ?x＜－1或x＞?， 2?? 3 f(x)的图象如图所示，c≤－2或－1＜c＜－. 4 答案 B 6.设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数的图象为（ ） 解析 注意本题中选择项的横坐标为小王从出发到返回原地所用的时间，纵坐标是经过的路程，故选D. 答案 D 二、填空题 7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出， x f(x) x g(x) 1 3 2 2 3 1 1 1 2 3 3 1 则f[g(1)]的值为________，满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________． 解析 ∵g(1)＝3，∴f[g(1)]＝f(3)＝1，由表格可以发现g(2)＝2，f(2)＝3，∴f(g(2))＝3，g(f(2))＝1. 答案 1 2 2 ?x＋1，x≥0， 8．已知函数f(x)＝?则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围 ?1，x<0， 是________． 2??1－x2>0，?1－x>2x， 解析 由题意有?或?解得－1 ??2x<0?2x≥0 ∴所求x的取值范围为(－1，2－1)． 答案 (－1，2－1) 9.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)= log2f(x)的定义域是______. 解析 要使函数有意义，须f(x)＞0，由f(x)的图象可知, 当x∈(2,8］时，f(x)＞0. 答案 (2,8］ 10．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称 f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题： ①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数； ②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)； ③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象； ④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号) 解析 对①，f(x)＝x2，则f(－1)＝f(1)，此时－1≠1，则f(x)＝x2不是单函数，①错；对②，当x1，x2∈A，f(x1)＝f(x2)时有x1＝x2，与x1≠x2时， f(x1)≠f(x2)互为逆否命题，②正确；对③，若b∈B，b有两个原象时．不妨设为a1，a2可知a1≠a2，但f(a1)＝f(a2)，与题中条件矛盾，故③正确；对④，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是单调递增函数，但f(x)＝x2在R上就不是单函数，④错误；综上可知②③正确． 答案 ②③ 三、解答题 ?1，1≤x≤2， 11．设函数f(x)＝?g(x)＝f(x)－ax， x－1，2 x∈[1,3]，其中a∈R，记函数g(x)的最大值与最小值的差为h(a)．
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