由图可知当y=-3x+3经过点A时,z取得最大值,此时x=3,y=4,zmax=5×3+3×4=27(万元).
5
????-??+2≥0,
10.已知x,y满足约束条件{??≤1,z=x+3y的最大值是最小值的-2倍,则
??+??+??≥0,k= .
答案:1
解析:画出不等式组表示的平面区域,如图所示,
结合目标函数的几何意义可知,目标函数在点C(1,3)处取得最大值,在点B(1,-1-k)处取得最小值, 所以zmax=1+3×3=10,zmin=1+3×(-1-k)=-2-3k. 根据题意有10=-2(-2-3k),解得k=1.
2??+3??-6≤0,
11.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组{??+??-2≥0,所表示的区域上一动点,则|OM|的最
??≥0小值是 . 答案:√2 解析:由约束条件画出可行域,如图(阴影部分)所示.
由图可知OM的最小值即为点O到直线x+y-2=0的距离,即dmin=|-2|√2=√2.
5
12.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1 kg、B原料2 kg;生产乙产品1桶需耗A原料2 kg,B原料1 kg.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12 kg.试通过合理安排生产计划,求从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润.
解:设每天分别生产甲产品x桶,乙产品y桶,相应的利润为z元,
??+2??≤12,
则{2??+??≤12,z=300x+400y, ??≥0,??≥0,
在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x+400y=0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点A(4,4)时,相应直线在y轴上的截距达到最大,此时z=300x+400y取得最大值,最大值是z=300×4+400×4=2800,即该公司可获得的最大利润是2800元.
能力提升
??+??-2≤0,
13.已知x,y满足约束条件{??-2??-2≤0,若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为
2??-??+2≥0.
( ) A.或-1
21
B.2或
2
1
C.2或1 D.2或-1
答案:D
解析:(方法一)由题中条件画出可行域,如图(阴影部分)所示,
可知A(0,2),B(2,0),C(-2,-2),则zA=2,zB=-2a,zC=2a-2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要zA=zB>zC或zA=zC>zB或zB=zC>zA,解得a=-1或a=2.
6
(方法二)目标函数z=y-ax可化为y=ax+z,令l0:y=ax,平移l0,则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意,故
a=-1或a=2.
??+??-2≤0,
4
14.若不等式组{??+2??-2≥0,表示的平面区域为三角形,且其面积等于3,则m的值为( )
??-??+2??≥0
A.-3 答案:B
解析:如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m≥0表示的平面区域为直线x-B.1
C.3
4
D.3
y+2m=0下方的区域,且-2m<2,即m>-1.这时平面区域为△ABC.
由{由{
??+??-2=0,??=2,
解得{则A(2,0).
??+2??-2=0,??=0,??+??-2=0,??=1-??,
解得{
??-??+2??=0,??=1+??,
则B(1-m,1+m). 同理C(
2-4??3
,
2+2??31
),M(-2m,0).
2+2??3
S△ABC=S△ABM-S△ACM=2·(2+2m)·[(1+??)-
]=
(??+1)
3
2
,由已知得
(??+1)
3
2
=,解得m=1(m=-3<-1舍去).
3
4
??+??-2≤0,
15.(2019广东蕉岭中学高三一模)已知D={(??,??)|{??-??+2≤0,},给出下列四个命题:
3??-??+6≥0p1:?(x,y)∈D,x+y≥0;p2:?(x,y)∈D,2x-y+1≤0;p3:?(x,y)∈D,??-1≤-4;p4:?(x,y)∈D,x2+y2≥2.
其中是真命题的是( ) A.p1,p2 答案:D
B.p2,p3
C.p3,p4
D.p2,p4
??+1
7
解析:可行域为一个△ABC及其内部,其中A(-2,0),B(0,2),C(-1,3),所以直线z=x+y过点A时取最小值-2<0;z=2x-y+1过点B时取最大值-1;斜率??-1的最小值为0-1=-3>-4;到原点距离的平方的最小值为(|0-0+2|√2??+12+1
)=2,因此选D.
2
16.电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示: 甲 乙 连续剧播放 时长/min 70 60 广告播放 时长/min 5 5 收视人次 /万 60 25 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600 min,广告的总播放时间不少于30 min,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多? 70??+60??≤600,
5??+5??≥30,
解:(1)由已知,x,y满足的数学关系式为??≤2??,
??≥0,
{??≥07??+6??≤60, ??+??≥6,
即??-2??≤0, ??≥0,
{??≥0,
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分:
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