一元二次方程根的分布

第七讲 一元二次方程根的分布

一．知识要点

二次方程ax2?bx?c?0的根从几何意义上来说就是抛物线y?ax2?bx?c与x轴交点的横坐标，所以研究方程ax2?bx?c?0的实根的情况，可从y?ax2?bx?c的图象上进行研究．

若在(??,??)内研究方程ax2?bx?c?0的实根情况，只需考察函数y?ax2?bx?c与x轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由y?ax2?bx?c的系数可判断出?,x1?x2,x1x2的符号，从而判断出实根的情况．

若在区间(m,n)内研究二次方程ax2?bx?c?0，则需由二次函数图象与区间关系来确定． 1．二次方程有且只有一个实根属于(m,n)的充要条件

若m,n其中一个是方程的根，则由韦达定理可求出另一根．

若m,n不是二次方程ax2?bx?c?0的根，二次函数f(x)?ax2?bx?c的图象有以下几种可能： （1）a?0,m?x1?n?x2 （2）a?0,x1?m?x2?n

y y

m n

xxxxO2n 1O 2x m 1x

（3）a?0,m?x1?n?x2 （4）a?0,x1?m?x2?n

y m y x1 x2n O x

x1m O x2n x

由图象可以看出，f(x)在x?m处的值f(m)与在x?n处的值f(n)符号总是相反，即f(m)?f(n)?0；反之，若f(m)?f(n)?0，f(x)的图象的相对位置只能是图中四种情况之一．所以得出结论：

若m,n都不是方程ax2?bx?c?0(a?0)的根，记f(x)?ax2?bx?c，则f(x)?0有且只有一个实根属于(m,n)的充要条件是f(m)f(n)?0．

2．二次方程两个根都属于(m,n)的充要条件

方程ax2?bc?c?0(a?0)的两个实根都属于(m,n)，则二次函数f(x)?ax2?bx?c的图象与x轴有两个交点或相切于点，且两个交点或切点的横坐标都大于m小于n，它的图象有以下几种情形： （1）a?0,m?x1?x2?n （2）a?0,m?x1?x2?n

y y

m x1 O x2 n x

m x1?x2O n x

（3）a?0,m?x1?x2?n （4）a?0,m?x1?x2?n

1

y

m x1 x2

O

由此可得出结论：

y n x

m x1?x2O n x

?b2?4ac?0?af(m)?0??2方程ax?bx?c?0(a?0)的两个实根都属于区间(m,n)的充要条件是：?af(n)?0

??m??b?n?2a?

3．二次方程ax2?bx?c?0的两个实根分别在区间(m,n)的两侧（一根小于m，另一根大于n）的充要条件是：

?af(m)?0 ?

af(n)?0???b2?4ac?0?4．二次方程ax2?bx?c?0的两个实根都在(m,n)的右侧的充要条件是：?af(n)?0

?b???n?2a

??b2?4ac?0?二次方程ax2?bx?c?0的两个实根都在(m,n)的左侧（两根都小于m）的充要条件是：?af(m)?0

?b???m?2a

二．例题选讲

xx?1例１．设关于x的方程4?2?b?0(b?R），

（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；

（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。

例２．已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).若方程f(x)=x无实根，求证：方程f[f(x)]=x也无实根．

2

例３．设A?[?2,4)，B?{xx2?ax?4?0}，若B?A，求实数a的取值范围．

变式：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m的取值范围．

例４．已知方程4x2?2(m?1)x?(2m?3)?0(m?R)有两个负根，求m的取值范围．

例５．求实数m的范围，使关于x的方程x2?2(m?1)x?2m?6?0． （１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小． （２）有两个实根?,?，且满足0???1???4． （３）至少有一个正根．

例６． 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

(1) 若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围. (2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.

变式：已知方程2x2 – 2(2a-1)x + a+2=0的两个根在-3与3之间，求a的取值范围．

3

例７．已知二次方程mx2?(2m?1)x?m?2?0的两个根都小于1，求m的取值范围．

变式：如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.

例８．已知a是实数，函数f(x)?2ax2?2x?3?a，如果函数y?f(x)在区间??11，?上有零点，求a的取值范围．

例９．求函数y =

x+1

(1

x-3x+2

2

例10．已知抛物线y = 2x2-mx+m与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m的取值范围．

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