三．巩固练习
1．已知二次方程(3m?1)x2?(2m?3)x?m?4?0有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m的取值范围．
2．已知方程m?22x?(2m?1)?2x?m?0在(??,1)上有两个根，求m的取值范围．
3．已知二次方程(2m?1)x2?2mx?(m?1)?0有且只有一个实根属于（1，2），且x?1,x?2都不是方程的根，求m的取值范围．
4．已知二次方程(m?1)x2?(3m?4)x?(m?1)?0的两个根都属于（–1，1），求m的取值范围．
5．若关于x的方程x2+(a-1)x+1=0有两相异实根，且两根均在区间[0,2]上，求实数a的取值范围．
6．二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足
(1) pf(
5
pqr??=0, 其中m>0,求证 m?2m?1mm)<0; m?1(2) 方程f(x)=0在(0，1)内恒有解。
2、二次函数在闭区间?m,n?上的最大、最小值问题探讨
设f?x??ax2?bx?c?0?a?0?，则二次函数在闭区间?m,n?上的最大、最小值有如下的分布情况：
m?n??b 2am??bb?n即???m,n? 2a2a?b?m?n 2ab?????b??b???m,n?，则f?x?max?max?f?m?,f???,f?n??，f?x?min?min?f?m?,f???,f?n??； 2a?2a??2a?????b??m,n?，则f?x?max?max?f?m?,f?n??，f?x?min?min?f?m?,f?n?? （2）若?2a（1）若?另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越小。
二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。
例1、函数f?x??ax?2ax?2?b?a?0?在?2,3?上有最大值5和最小值2，求a,b的值。
2解：对称轴x0?1??2,3?，故函数f?x?在区间?2,3?上单调。 （1）当a?0时，函数f?x?在区间?2,3?上是增函数，故?（2）当a?0时，函数f?x?在区间?2,3?上是减函数，故?例2、求函数f?x??x?2ax?1,x??1,3?的最小值。
2解：对称轴x0?a
（1）当a?1时，ymin?f?1??2?2a； （2）当1?a?3时，ymin?f?a??1?a；
2（3）当a?3时，ymin?f?3??10?6a
6
图象 最大、最小值f?x?max?f?m? f?x?max?max?f?n?,f?m?? f?x?max?f?n? f?x?min?f?n??b?f?x?min?f????2a?f?x?min?f?m? 对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论： 二次函数在闭区间上的最值练习
??3a?b?2?5?a?1?f?x?max?f?3? ? ? ? ?； fx?f2????2?b?2?b?0???min??b?2?5?a??1?f?x?max?f?2? ? ? ? ?fx?f3????3a?b?2?2?b?3???min改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？
解：（1）当a?2时，f?x?max?f?3??10?6a； （2）当a?2时，f?x?max?f?1??2?2a。
2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？
解：（1）当a?1时，f?x?max?f?3??10?6a，f?x?min?f?1??2?2a；
（2）当1?a?2时， f?x?max?f?3??10?6a，f?x?min?f?a??1?a2； （3）当2?a?3时，f?x?max?f?1??2?2a，f?x?min?f?a??1?a2； （4）当a?3时， f?x?max?f?1??2?2a，f?x?min?f?3??10?6a。
例3、求函数y?x2?4x?3在区间?t,t?1?上的最小值。 解：对称轴x0?2
2（1）当2?t即t?2时，ymin?f?t??t?4t?3；
（2）当t?2?t?1即1?t?2时，ymin?f?2???1； （3）当2?t?1即t?1时，ymin?f?t?1??t2?2t
2例4、讨论函数f?x??x?x?a?1的最小值。
?x2?x?a?1,x?a解：f?x??x?x?a?1??2，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别
?x?x?a?1,x?a111111为直线x??，x?，当a??，??a?，a?时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）
22222221?1?3时，f?x?min?f?????a； 2?2?4112 （2）当??a?时，f?x?min?f?a??a?1；
221?1?3 （3）当a?时，f?x?min?f????a
2?2?4因此，（1）当a??
7
参考答案
2x例１．分析：可用换元法，设2?t，原方程化为二次方程t?2t?b?0，但要注意t?0，故原方程有解并
不等价于方程t?2t?b?0有解，而等价于方程t?2t?b?0在(0,??)内有解．另外，方程有解的问题也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是：若关于x的方程a?f(x)有解，则a?f(x)的值域． 解：（1）原方程为b?4?2xx?122，
?4x?2x?1?(2x)2?2?2x?(2x?1)2?1??1，
?当b?[?1,??)时方程有实数解；
x（2）①当b??1时，2?1，∴方程有唯一解x?0； ②当b??1时，?(2x?1)2?1?b?2x?1?1?b.
?2x?0,1?1?b?0,?2x?1?1?b的解为x?log2(1?1?b)；
令1?1?b?0?1?b?1??1?b?0,
?当?1?b?0时,2x?1?1?b的解为x?log2(1?1?b)；
综合①、②，得
1）当?1?b?0时原方程有两解：x?log2(1?1?b)；
2）当b?0或b??1时，原方程有唯一解x?log2(1?1?b)； 3）当b??1时，原方程无解。
例２．证明：方程f(x)=x即f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0无实根，f(x)-x仍是二次函数，f(x)-x=0仍是二次方程，它无实根即Δ=(b-1)2-4ac＜0
①若a＞0，则函数y=f(x)-x的图象在x轴上方，
∴y＞0，即f(x)-x＞0恒成立，即：f(x)＞x对任意实数x恒成立。 ∴对f(x)，有f(f(x))＞f(x)＞x恒成立 ∴f(f(x))=x无实根
②若a＜0，函数y=f(x)-x的图象在x轴下方 ∴y＜0，即f(x)-x＜0恒成立 ∴对任意实数x，f(x) ＜0恒成立 ∴对实数f(x)，有：f(f(x))＜f(x)＜x恒成立 ∴f(f(x))=x无实根
综上可知，当f(x)=x无实根时，方程f(f(x))=x也无实根．
例３．分析：观察到方程x2?ax?4?0有两个实根，故此题不妨用求根公式来解决． 解：因x2?ax?4?0有两个实根
2aa2aa x1??4?，x2??4?，
2424故B?A等价于x1??2且x2?4，即
aa2aa2且?4???2?4??4，
2424
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