解之得0?a?3．
变式：解：原方程即为 (x + 1)(x + 3m-2)=0，所以方程两根分别为-1, 2-3m，而-1在(-3,1)上，则由题意，另一根
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满足 -3<2-3m<3 ? - 33 例４．解：依题意有 ???4(m?1)2?4?4(2m?3)?0? ?m?11． ?(m?1)?0??2m?3?0?例５．解：设y?f(x)?x2?2(m?1)x?2m?6． （１） 依题意有f(2)?0，即4?4(m?1)?2m?6?0，得m??1． （２） 依题意有 ?f(0)?2m?6?075? ?f(1)?4m?5?0 解得：??m??． 54?f(4)?10m?14?0? （３）方程至少有一个正根，则有三种可能： 例６．解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，则 1?m???2?f(0)?2m?1?0,??f(?1)?2?0,?m?R,51????1 ? ??m??， ?62?f(1)?4m?2?0,?m??2,???f(2)?6m?5?0?m??5?6?∴实数m的范围是(?,?). ??m??1或m?5???0????3?m??1． m??3 ①有两个正根，此时可得?f(0)?0，即???2(m?1)m?1?0????2 ②有一个正根，一个负根，此时可得f(0)?0，得m??3． ?6?2m?0 ③有一个正根，另一根为０，此时可得? ?m??3． ?2(m?1)?0综上所述，得m??1． 5612?f(0)?0,?f(1)?0,?(2)据抛物线与x轴交点落在区间 (0，1) 内，列不等式组? ??0,???0??m?11?m??,?2?1?m??1, ? - 9 ∴ 实数m的范围是(?,1?2]. 变式：解：设f(x) = 2x2 – 2(2a-1)x + a+2，则原方程两根都属于 (-3, 3)的充要条件为 △≥0 4(2a-1)2 – 8(a+2)≥0 f(-3)>0 18+6(2a-1)+a+2>0 f(3)>0 ? 18-6(2a-1)+a+2>0 2a-12a-1 -3< <3 -3< <3 22143-21 3+21 26? - 134411 143-21 3+21 26 故a的取值范围是 (- , ] ∪[ , )． 134411 例７．解一：二次方程两个根都小于1，其充要条件为 ??(2m?1)2?4m(m?2)?0(1)? ?m[m?(2m?1)?m?2]?0(2) ?2m?1???1(3)2m?12??????? ??? （1）即为8m2?12m?1?0，它的解集是(??,3?73?7]?[,??)． 44（2）即为m(2m?1)?0，它的解集是(??,?)?(0,??)． （3）的解集是(??,0)?(,??)． 121413?7,??)． 所以，m的取值范围是(??,?)?[24解二：二次方程mx2?(2m?1)x?m?2?0有两个根的充要条件是??0． 设两根为x1,x2，由于x1,x2都小于1，即x1?1?0,x2?1?0，其充要条件为： ?(x1?1)?(x2?1)?0 ? ?(x1?1)(x2?1)?0即 ?x1?x2?2?0 ? xx?(x?x)?1?012?12因此，方程两个根都小于1的充要条件是： ??(2m?1)2?4m(m?2)?0??2m?1?2?0 ? m???m?22m?1??1?0?m?m以下同解法一（略）． 解三：令y?x?1，原方程转化为m(y?1)2?(2m?1)(y?1)?m?2?0，即 my2?(4m?1)y?2m?1?0 （*） 因为原方程两根都小于1，所以方程（*）的两个实根都小于0，其充要条件是： 10 ????0??4m?1?0 ??m??2m?1?0??m同样可求出m的取值范围（略）． 变式：解：∵f(0)=1>0 (1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意. ???0?(2）当m>0时，则?3?m解得0＜m≤1 ?0??m综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}. 例８．解析1：函数y?f(x)在区间[-1，1]上有零点，即方程f(x)?2ax2?2x?3?a=0在[-1，1]上有解， ?af(?1)?0?af(1)?0?? a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>f(?1)?f(1)?0或???4?8a(3?a)?0?1?a?5???1?[?1.1]??a?3?7?3?7或a?5?a?或a≥1. 22?3?7所以实数a的取值范围是a?或a≥1. 2解析2：a=0时，不符合题意，所以a≠0,又 或a?12x2?1∴f(x)?2ax?2x?3?a=0在[-1，1]上有解，?(2x?1)a?3?2x在[-1，1]上有解??在[-1，1]上有解， a3?2x2x2?1问题转化为求函数y?[-1，1]上的值域；设t=3-2x，x∈[-1，1]，则2x?3?t， 3?2x21(t?3)?217t∈[1,5],y???(t??6)， 2t2t7t2?7设g(t)?t?.g'(t)?2，t?[1,7)时，g'(t)?0，此函数g(t)单调递减，t?(7,5]时，g'(t)>0,此函数g(t)单调 tt1递增，∴y的取值范围是[7?3,1]，∴f(x)?2ax2?2x?3?a=0在[-1，1]上有解?∈[7?3,1]?a?1或 a223?7。 2例９．解：原函数即为 y (x2-3x+2)=x+1, yx2-(3y+1)x+2y-1=0, ① 由题意，关于x的方程①在(1,2)上有实根． 易知y<0, 令f(x)= yx2-(3y+1)x+2y-1，则f(1)= -2<0, f(2)= -3<0，所以方程①在(1,2)上有实根当且仅当 ? △≥0 ? 1<3y+1 <2 ，解得y≤-5-26 . ?2y ∴ 原函数的值域为 (-?, -5-26 ]. 例10．解：以(0,0), (1,1)为端点的线段所在直线为y=x，代入抛物线方程得： x = 2x2-mx+m 即 2x2-(m+1)x+m=0, ① 由题意，方程①在区间(0, 1)上有实根，令f(x) = 2x2-(m+1)x+m，则当且仅当 a?? 11 ?? 0< m+1 <1? m-6m+1≥0 4f(0)·f(1)<0或 ? ? m<0或 ? -1 ? m>0 f(0)>0 ?? f(1)>0 2 △≥0 2 且m≠0． 故m的取值范围为 (-?, 0)∪(0, 3-22 ]. 巩固练习 1．解：易知x1 = -1是方程的一个根，则另一根为x2 = m-4 且仅当 -1< <1，即 3m-135 )∪( , +?). 24 2．解：令t?2x，当x?(??,1)时，t?(0,2)． 由于t?2x是一一映射的函数，所以x在(??,1)上有两个值，则t在(0,2)上有两个对应的值．因而方程 m-4 ，所以原方程有且仅有一个实根属于( -1, 1)当3m-1 m-4 +1>03m-1 ? m-4 -1 <03m-1 4m-5 >03m-135 ? m< - 或m> ，∴ m的取值范围为 (-?,- 2m+324 >03m-1 ??? ??? mt2?(2m?1)t?m?0在（0，2）上有两个不等实根，其充要条件为 ?(2m?1)2?4m2?0(1)?2m?0(2)?? ?m(9m?2)?0(3) ??0?2m?1?2(4)??2m?1由（1）得： m?， 4由（2）得： m?0， 2由（3）得： m?0或m?， 911由（4）得： ?m?． 622121??m?，即m的取值范围为(,)． 9494123．解：设f(x) = (2m?1)x?2mx?(m?1)，由于f(x)是二次函数，所以2m+1 ≠ 0，即m ≠ - . 23 f(x) =0在（1，2）上有且仅有一个实根当且仅当f(1)·f(2)<0 ? (5m+3)(m-2)<0 ? - 5 311 综上得：m的取值范围是(- , - )∪(- , 2)． 5222 4．令二次函数f(x) = (m-1)x+(3m+4)x+m+1，则m-1 ≠ 0，即m ≠ 1． f(x)=0的两个实根均在(-1,1)上，当且仅当 ???(3m?4)2?4(m?1)(m?1)?0,?3m?4??12?211?12?2114?1,??1??或?m?? ? ?4?m?2m?2?555?(m?1)f(?1)?0,???(m?1)f(1)?0.?12?211?12?2114}?{m|?m??}． 5552 5．解：令f(x) = x+(a-1)x+1，则满足题意当且仅当 ∴ m的取值范围为{m|?4?m? 12 △= (a-1)2-4>0 a-1 3 0< - <2 2 解得 - ≤a<-1. 2 f(0)≥0 f(2)≥0 3 ∴ a的取值范围是 [ - , -1)． 2 ????? 6．证明 (1)pf(mm2m)?p[p()?q()?r] m?1m?1m?1pmqrpmp?pm[??]?pm[?](m?1)2m?1m(m?1)2m?2m(m?2)?(m?1)22?pm[](m?1)2(m?2)?1?p2m, (m?1)2(m?2)由于f(x)是二次函数，故p≠0, 又m>0, 所以，pf((2)由题意，得f(0)=r, f(1)=p+q+r， ①当p>0时，由(1）知f(若r>0,则f(0)>0,又f( m)＜0． m?1m)＜0， m?1mm)＜0,所以f(x)=0在(0，)内有解; m?1m?1prpr若r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)(－?)+r=?>0, m?2mm?2mmm又f()＜0,所以f(x)=0在(,1)内有解 m?1m?1②当p＜0时同理可证 故方程f(x)=0在(0，1)内恒有解． 13
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