第1课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
学习目标：1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．(重点)3.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 周期 最小正周期 奇偶性 y＝sin x 2kπ(k∈Z且k≠0) 2π 奇函数 [基础自测] y＝cos x 2kπ(k∈Z且k≠0) 2π 偶函数 1．思考辨析 (1)若sin?
?2π＋π?＝sinπ，则2π是函数y＝sin x的一个周期．( )
?6?63?3
(2)所有的周期函数都有最小正周期．( ) (3)函数y＝sin x是奇函数．( ) [解析] (1)×.因为对任意x，sin?
?2π＋x?与sin x并不一定相等．
?
?3?
(2)×.不是所有的函数都有最小正周期，如函数f(x)＝5是周期函数，就不存在最小正周期． (3)×.函数y＝sin x的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，不关于原点对称，故非奇非偶． [答案] (1)× (2)× (3)× π??2．函数y＝2sin?2x＋?是( )
2??A．周期为π的奇函数 C．周期为2π的奇函数
B．周期为π的偶函数 D．周期为2π的偶函数
π??B [y＝2sin?2x＋?＝2cos 2x，它是周期为π的偶函数．] 2??
3．若函数y＝f(x)是以2为周期的函数，且f(5)＝6，则f(1)＝________. 6 [由已知得f(x＋2)＝f(x)， 所以f(1)＝f(3)＝f(5)＝6.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
求下列函数的周期： π??(1)y＝sin?2x＋?； 4??
(2)y＝|sin x|. 【导学号：84352085】
三角函数的周期问题及简单应用 [思路探究] (1)法一：寻找非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立． 法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式计算． (2)作函数图象，观察出周期．
π??[解] (1)法一：(定义法)y＝sin?2x＋?
4??π???＝sin?2x＋＋2π?＝sin?4???所以周期为π.
π?2π2π?法二：(公式法)y＝sin?2x＋?中ω＝2，T＝＝＝π.
4?ω2?(2)作图如下：
＋π
π
＋??， 4?
观察图象可知周期为π.
[规律方法] 求三角函数周期的方法： (1)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝2π
. |ω|
(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．
提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝[跟踪训练]
1．利用周期函数的定义求下列函数的周期． (1)y＝cos 2x，x∈R；
π. |ω|
?1π?(2)y＝sin?x－?，x∈R.
4??3
[解] (1)因为cos 2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos 2x，由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π. (2)因为sin?
?1?3
＋6π
π－? 4??
π??1?1π??1π?＝sin?x＋2π－?＝sin?x－?，由周期函数的定义知，y＝sin?x－?的周期为6π.
4?4?4??3?3?3
三角函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性：
?1π?(1)f(x)＝sin?－x＋?；
2??2
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； 1＋sin x－cos2x
(3)f(x)＝.
1＋sin x[思路探究]
1
[解] (1)显然x∈R，f(x)＝cosx，
21?1?∵f(－x)＝cos?－x?＝cosx＝f(x)， 2?2?∴f(x)是偶函数．
?1－sin x＞0，?
(2)由?
??1＋sin x＞0，
得－1＜sin x＜1，
??π?解得定义域为?x?x∈R且x≠kπ＋，k∈Z
2???
??
?， ??
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)， ∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)] ＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．
(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1， π
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.
2∵定义域不关于原点对称， ∴该函数是非奇非偶函数．
[规律方法] 1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f(x)与f(－x)的关系．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则． [跟踪训练]
2．判断下列函数的奇偶性：
?3?2
(1)f(x)＝cos?π＋2x?＋xsin x；
?2?
(2)f(x)＝1－2cos x＋2cos x－1. [解] (1)f(x)＝sin 2x＋xsin x，
又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)sin(－x) ＝－sin 2x－xsin x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数．
??1－2cos x≥0，
(2)由?
?2cos x－1≥0，?
2
2
2
1
得cos x＝，
2
π
∴f(x)＝0，x＝2kπ±，k∈Z，
3∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
三角函数的奇偶性与周 [探究问题] 1．试举例说明哪些三角函数具有奇偶性？
期性的综合应用 提示：奇函数有y＝2sin x，y＝sin 2x，y＝5sin 2x，y＝sin xcos x等．偶函数有y＝cos 2x＋1，y＝3cos 5x，y＝sin x·sin 2x等．
2．若函数y＝f(x)是周期T＝2的周期函数，也是奇函数，则f(2 018)的值是多少？ 提示：f(2 018)＝f(0＋1 009×2)＝f(0)＝0.
(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A．y＝cos|2x|
B．y＝|sin 2x| D．y＝cos?
?π?C．y＝sin?＋2x? ?2??3π－2x?
?
?2?
?π?(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈?0，?时，
2??
f(x)＝sin x，则f?
1
A．－
2C．－
3
2
?5π?等于( )
??3?
1B. 2D.3 2
[思路探究] (1)先作出选项A，B中函数的图象，化简选项C、D中函数的解析式，再判断奇偶性、周期性．
(2)先依据f(x＋π)＝f(x)化简f?
?5π?；再依据f(x)是偶函数和x∈?0，π?，f(x)＝sin x求值．
??2??3???
?π＋2x?＝cos 2x是偶函数，y?
?2?
(1)D (2)D [(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sin?
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