π?1?π??(2)若α∈?0，?，且cos?α＋?＝，求f(α)．
2?12?3??
31313?π?2
解 (1)f(x)＝sinxcos?x＋?＋1＝sinxcosx－sinx＋1＝sin2x＋cos2x＋
6?22444?π?31?
＝sin?2x＋?＋. 6?42?
πππππ
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
26236ππ??故f(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ＋?，k∈Z.
36??π?31?
(2)f(α)＝sin?2α＋?＋
6?42?π??π?3?＝sin?α＋?cos?α＋?＋，
12??12?4?π?1??π?又∵cos?α＋?＝，且α∈?0，?， 12?32???π?22223?∴sin?α＋?＝，∴f(α)＝＋. 12?394?→→
13．已知△ABC的面积为S，且BA·BC＝S. (1)求tan2B的值；
3→→
(2)若cosA＝，且|CA－CB|＝2，求BC边中线AD的长．
51→→
解 (1)由已知BA·BC＝S有accosB＝acsinB，
2可得tanB＝2，所以tan2B＝
2tanB4
2＝－. 1－tanB3
→→→
(2)由|CA－CB|＝2可得|BA|＝2，由(1)知tanB＝2， 2553
解得sinB＝，cosB＝，又cosA＝，
555
425
所以sinA＝，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.
55因为sinB＝sinC，所以B＝C，所以AB＝AC＝2， 所以中线AD也为BC边上的高， 2545
所以AD＝ABsinB＝2×＝. 55
????14．已知向量m＝?3sin，1?，n＝?cos，cos?. 4?4???4
2
xxx(1)若m·n＝1，求cos?
?2π－x?的值；
??3?
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．
5
解 m·n＝3sincos＋cos 444＝
3x1x1
sin＋cos＋ 22222
xx2
x?xπ?1＝sin?＋?＋. ?26?2
?xπ?1
(1)∵m·n＝1，∴sin?＋?＝，
?26?2
π?1?π?2?xcos?x＋?＝1－2sin?＋?＝，
3???26?2cos??2π－x?＝－cos?x＋π?＝－1. ??3?2?3???
(2)由(2a－c)cosB＝bcosC及正弦定理得 (2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC， 2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC， 2sinAcosB＝sin(B＋C)．
∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0， 1π2π
∴cosB＝，B＝.∴0 233πAππ1?Aπ?∴<＋<， ?xπ?1又∵f(x)＝m·n＝sin?＋?＋， ?26?2?Aπ?1 ∴f(A)＝sin?＋?＋， ?26?2 3 故1 ?3?故函数f(A)的取值范围是?1，?. ?2? ωxωx????15．已知向量a＝?2cos，3?，b＝?3cos，sinωx?，ω>0，设函数f(x)＝a·b22????－3的部分图象如图所示，A为图象的最低点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为等边三角形，其高为23. (1)求ω的值及函数f(x)的值域； 83?102?(2)若f(x0)＝，且x0∈?－，?， 5?33? 6 求f(x0＋1)的值． 解 (1)由已知可得 f(x)＝a·b－3＝6cos2 ωx2 ＋3sinωx－3 ＝23sin??? ωx＋π3???， 由正△ABC的高为23，可得BC＝4， 所以函数f(x)的最小正周期T＝4×2＝8， 即 2πω＝8，得ω＝π 4 ， 故f(x)＝23sin? ?πx?4 ＋π3???， 所以函数f(x)的值域为[－23，23]． (2)由(1)有f(x0)＝23sin?? πx0?4 ＋π3???， 又f(x830)＝?πx0＋π?5，故sin??43??＝45， 由xπ0∈???－103，23???，得x04＋π3∈??ππ?－2，2???，所以cos? ?πx0＋π?43???＝1－??4?5??23 ?＝5 ， 故f(xx00＋1)＝23sin??π?4＋π＋π43??? ＝23sin????πx0??4＋π3???＋π?4?? ＝23× 2??πx0πx0π??2??sin??4＋π3???＋cos???4 ＋3????＝6×??43?5＋5??76?＝ 5 . 7
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