高中数学函数的单调性和奇偶性教案新人教版必修1

函数的单调性和奇偶性

一、教学目标 1．函数的单调性 2．函数的奇偶性 二、考点、热点回顾 1．函数的单调性

⑴函数的单调性是对于函数定义域内的某个区间而言的，即这个区间必定是函数定义区间的子区间．在一个函数的定义区间内，不同的子区间上函数可能有不同的单调性，因此，在谈某个函数的单调性时，必须同时说明相应的区间．在不提单调区间时，应认为函数在整个定义区间内有同一的单调性.函数的单调区间可能是开区间，可能是闭区间，也可能是半开半闭区间．

⑵函数不一定有单调区间，如函数f(x)?函数f(x)??1，显然不存在单调区间.又如x?1?1?x的定义域为???1(x为有理数)??1(x为无理数)也不存在单调区间．

⑶判断函数的增减性，可以根据已研究过的函数的单调性，也可以根据函数单调性的定义.由定义判断函数y?f(x)在区间[a,b]上的单调性时，通常设a?x1?x2?b，然后作差式f(x1)?f(x2)，将该差式作适当的变形并判断差式的符号，从而得出结论．

2例1 画出函数f(x)?x?4x?3的图像，并由图像写出函数f(x)的单调区间．

例2 画出函数y?x?2?x?1的图像，并根据图像写出函数的单调区间．

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例3 求证：函数f(x)?1?x3在定义域上是减函数.

例4 求证：函数f(x)?x?

例5 求函数y?F(x)?8?2x?x2的单调区间.

2．函数的奇偶性

⑴函数的奇偶性是对于函数的整个定义域而言的.由定义知，如果函数f(x)是奇函数或偶函数，若x在函数定义域内，则?x也一定在函数的定义域内，因此其定义域在数轴上表示的区间必然关于原点对称（简称“定义域关于原点对称”）.由此在判断函数是否具有奇偶性时，首先应检查其定义域是否关于原点对称.

⑵证明函数的奇偶性，只能根据函数奇偶性的定义，即研究f(?x)和f(x)的关系.

⑶函数f(x)的奇偶性情况有四种可能：①f(x)是奇函数；②f(x)是偶函数；③f(x)既是奇函数又是偶函数；④f(x)既非奇函数又非偶函数.

⑷一个函数是奇函数的充要条件是函数的图像关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是函数的图像关于y轴对称.

4在区间(0,2]上递减，在区间[2,??)上递增. x 2

函数奇偶性的证明通常根据奇偶性的定义.

例6 判断函数的奇偶性:

x2?1?x?1⑴f(x)?x3?ax ; ⑵f(x)?x2?1?x?1;

?(x?1)2,(⑶f(x)?(1?x)?1?x1?x; ⑷f(x)??x?0)?0,(x?0),

??(x?1)2(x?0).

例7 已知定义在(??,??)上的偶函数f(x)在区间(??,0]是增函数，求证：是减函数.

f(x)在区间[0,??)上3