8．如图所示，扇形周长为a，当扇形的圆心角α和半径r各取何值时，扇形的面积最大．
解：设扇形弧长为l，面积为S， 1
则S＝l·r，
2又∵l＋2r＝a， 1
∴S＝(a－2r)·r
212
＝－r＋ar
2
?a?2a＝－?r－?＋，
?4?16
∴当r＝时，Smax＝，
416
由l＝a－2r＝及α＝得α＝2 rad.
2r
1．用弧度表示终边相同的角
(1)用弧度表示的与角α终边相同的角的一般形式为β＝2kπ＋α，(k∈Z)． 这些角所构成的集合为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．
(2)在同一个代数式中，弧度与角度两种单位制不能同时出现，如2kπ＋30°(k∈Z)或
2
aa2
alk·360°＋(k∈Z)的写法都是不正确的．
2．利用弧度制解决扇形的弧长及面积问题
(1)在扇形的有关问题中，要充分揭示图形的性质及内在联系．在圆心角、半径、弧长、面积这些量中，已知其中的两个，就可以求出其他量．
(2)在解决有关扇形、弓形的有关计算问题时，采用弧度制通常要比采用角度制更方便．
π3
课下能力提升(二)
一、填空题
1．－600°＝________弧度．
π10π
解析：－600°＝－600× rad＝－ rad 180310π
答案：－
3
2．若α＝－4，则α是第________象限角． 180°
解析：∵－4×≈－229°，∴在第二象限．
π答案：二
3．圆弧长度等于其所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对的圆心角的弧度数是________．
解析：圆内接正三角形的边长等于半径的3倍． 答案：3
π
4．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝
6________________________.
解析：与α终边相同的角的集合为
??α?
?α＝2kπ＋π，k∈Z?
??3??
.
∵α∈(－4π，4π)， π
∴－4π＜2kπ＋＜4π，
31311
化简得：－＜k＜.
66∵k∈Z，
∴k＝－2，－1,0,1，
11π5ππ7π
∴α＝－，－，，.
3333
11π5ππ7π
答案：－，－，，
3333
5．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________.
解析：如图所示，
∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]． 答案：[－4，－π]∪[0，π] 二、解答题
6．设角α＝－570°，β＝
3π
. 5
(1)将α用弧度制表示出来，并指出它所在的象限；
(2)将β用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它有相同终边的所有角． 解：(1)∵180°＝π rad，
π19π
∴－570°＝－570×＝－. 180619π5π
∴α＝－＝－2×2π＋.
66∴α在第二象限．
3π3π180°
(2)∵β＝＝×＝108°，
55π设θ＝k·360°＋β(k∈Z)． 由－720°≤θ<0°，
∴－720°≤k·360°＋108°<0°. ∴k＝－2或k＝－1.
∴在－720°～0°间与β有相同终边的角是－612°和－252°.
7．一个扇形的周长等于所在圆的周长，那么这个扇形的圆心角是多少？如果半径等于3，那么，扇形的面积等于多少？
解：设扇形的圆心角为α，半径为r，则2r＋αr＝2πr， 故α＝2π－2，
S扇形＝αr2＝×(2π－2)×3＝3π－3.
1212
8．已知α是第二象限的角，
α
(1)指出所在的象限，并用图形表示其变化范围；
2(2)若α同时满足条件－6≤α≤2，求α的取值区间． π
解：(1)依题意，2kπ＋＜α＜2kπ＋π，k∈Z，
2παπ
∴kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，
422α
若k为偶数，则是第一象限的角；
2α
若k为奇数，则是第三象限的角；
2其变化范围如图中阴影部分所示(不含边界)．
(2)又－6≤α≤2，
π??故α∈?2kπ＋，2kπ＋π?∩[－6,2]， 2??
?3π??π?由图不难知道，α∈?－，－π?∪?，2?.
?2??2?
第1课时 任意角的三角函数
如图，直角△ABC.
问题1：如何表示角A的正弦、余弦、正切值？ 提示：sin A＝，cos A＝，tan A＝.
问题2：如图，锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P(a，b)，作PM⊥x轴，如何用图中的数据表示sin α，cos α，tan α？
acbcab
提示：∵PM⊥x轴，∴△OPM为直角三角形， ∴|OP|＝|OM|＋|PM|＝a＋b，
|PM|b|OM|a∴sin α＝＝22，cos α＝＝22，
|OP||OP|a＋ba＋b|MP|btan α＝＝. |OM|a
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为
2
2
2
2
r(r＝x2＋y2>0)规定：
三角函数 正弦 余弦 定义 sin α＝ cos α＝ 定义域 yrxryxR R π{α|α≠kπ＋，k∈2Z} 正切 tan α＝
相关推荐：
loading