2π
[精解详析] 在直角坐标系中作单位圆如图，以Ox轴正方向为始边作的终边与单位3圆交于P点，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox正方向的交点A作Ox轴的垂线与OP2π2π2π
的反向延长线交于T点，则sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT.
333
4π
同理，可作出的正弦线、余弦线和正切线，
54π4π4π
sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.
5552π4π由图形可知：MP>M′P′，符号相同?sin>sin，
35
OM>OM′，符号相同?cos
2π4π
>cos，AT 2π4π 符号相同?tan [一点通] 利用三角函数线比较三角函数值的大小，关键在于准确作出正弦线、余弦线、正切线，并注意它们为有向线段，方向代表三角函数值的符号，然后结合图形作出判断． 6．sin 1，sin 1.2，sin 1.5三者的大小关系是________． 解析：在同一单位圆中画出三个角的正弦线作出比较可得． 答案：sin 1.5>sin 1.2>sin 1 7．利用三角函数线，求满足下列条件的角x的集合． 13 (1)sin x≤； (2)cos x＜. 22 1 解：(1)利用角x的正弦线，作出满足sin x≤的角x的终边所在位置的范围．如图(1) 2 ???7ππ 的阴影部分，由图形得角x的集合为?x?2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z? 66??? . (2)利用角x的余弦线，作出满足cos x＜ 3 的角x的终边所在位置的范围，如图(2)2 ???π11π??2kπ＋＜x＜2kπ＋，k∈Z的阴影部分，由图形得角x的集合为x?66??? . 1．准确理解三角函数的定义 根据三角函数的定义，各三角函数值的大小与在终边上所取的点的位置无关，只与角α的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．定义中的α是任意角，但对于一个确定的角，只要各个三角函数有意义，其值就是唯一的． 2．确定三角函数的符号 根据三角函数的定义可知，正弦值、余弦值的符号分别取决于纵坐标y、横坐标x的符号；正切值则是纵坐标y、横坐标x同号时为正，异号时为负． 3．三角函数线的应用 三角函数线的方向和长短直观反映了三角函数值的符号和绝对值的大小，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可以看出三角函数值的绝对值大小． 课下能力提升(三) 一、填空题 1．若α是第三象限角，则 |sin α|cos α －＝________. sin α|cos α| 解析：∵α是第三象限角， ∴sin α＜0，cos α＜0， ∴ |sin α|cos α －＝－1－(－1)＝0. sin α|cos α| 答案：0 2．有下列命题： (1)若sin α>0，则α是第一、二象限的角； (2)若α是第一、二象限角，则sin α>0； (3)三角函数线不能取负值； (4)若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝其中正确的序号是________． ππ 解析：只有(2)正确；∵sin ＝1>0，但不是第一、二象限角，∴(1)不正确；三角 22函数线是三角函数值的几何表示，其数量可正可负，也可为0，∴(3)不正确；(4)应是cos α＝ －xx＋y22 . xx2＋y2 (∵α是第二象限角，已有x<0)，∴(4)不正确． 答案：(2) 3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α＞0，cos α≤0，则α的取值范围是________． 解析：由cos α≤0及sin α＞0知角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上． ??3a－9≤0， 故? ?a＋2＞0，? ∴－2＜a≤3. 答案：(－2,3] 4 4．角α的终边上有一点P(a,4)，且tan α＝，则3sin α－ 32cos α的值为________． 4 解析：∵tan α＝，∴a＝3. 3 4322 ∴r＝3＋4＝5，sin α＝，cos α＝， 551266 ∴3sin α－2cos α＝－＝. 5556答案： 5 5．依据三角函数线，作出如下四个判断： π7π①sin ＝sin ； 66π?π?②cos?－?＝cos ； 4?4?π3π ③tan >tan ； 883π4π ④sin >sin . 55 其中判断正确的有________． 解析：分别作出各角的三角函数线，可知：sin π3π3π4πtan 8855 ∴②④正确． 答案：②④ 二、解答题 6．已知角α的顶点在原点，始边为x轴的正半轴，若角α终边过点P(－3，y)，且sin α＝3 y(y≠0)，判断角α所在的象限，并求cos α的值． 4 π7ππ?π?＝－sin ，cos?－?＝cos ，664?4? 解：依题意，P到原点O的距离 r＝|OP|＝ yr－3 2 ＋y＝3＋y. 3y. 4 22 ∴sin α＝＝y2 3＋y＝2 ∵y≠0，∴9＋3y＝16. 7212 ∴y＝，y＝±. 33∴点P在第二或第三象限， 且cos α＝－33＋y＝－2 3 ＝－. 47 3＋33 7．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝x＋y＝ 22t2＋－3t2＝5|t|， y－3t3x4t4y－3t当t＞0时，r＝5t，sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，tan α＝＝＝r5t5r5t5x4t3 －； 4 当t＜0时，r＝－5t，sin α＝＝3＝－. 4 综上可知， 343 sin α＝－，cos α＝，tan α＝－； 554 y－3t3x4t4y－3t＝，cos α＝＝＝－，tan α＝＝ r－5t5r－5t5x4t343 或sin α＝，cos α＝－，tan α＝－. 554 ππ 8．已知<θ<，试用三角函数线比较sin θ，cos θ，tan θ 42小． 解：如图，在单位圆中作出正弦线、余弦线、正切线， sin θ＝MP>0, cos θ＝OM>0， tan θ＝AT>0，由图知OM 第2课时 同角三角函数关系 的大 若角α的终边与单位圆交于P(x，y)，如图． 问题1：角α的三角函数值是什么？ 提示：sin α＝y.cos α＝x.tan α＝. 问题2：sin α与cos α有什么关系？ 提示：sinα＋cosα＝y＋x＝1. sin α 问题3：的值与tan α有什么关系？ cos αsin αy提示：＝＝tan α. cos αx 同角三角函数的基本关系式 平方关系 sin_α＋cos_α＝1 222 2 2 2 yx
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