导数--复合函数的导数练习题

函数求导

1. 简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限） （1）求函数的增量?y?f(x0??x)?f(x0)；

?yf(x0??x)?f(x0)。 ??x?xf(x0??x)?f(x0)'（3）取极限求导数f(x0)?lim

?x?0?x（2）求平均变化率

'2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点f(x0)的导数就是

导函数f(x)，当x?x0时的函数值。 3．常用的导数公式及求导法则： （1）公式

①C?0，（C是常数） ③(cosx)??sinx

x'x''

②(sinx)?cosx ④(x)?nxx'xn'n?1'

⑤(a)?alna ⑦(logax)?'⑥(e)?e

11' ⑧(lnx)? xlnax11''⑨(tanx)? ⑩（ cotx)??22cosxsinx'''（2）法则：[f(x)?g(x)]?[f(x)]?[g(x)]， [f(x)g(x)]'?f'(x)g(x)?g'(x)f(x)

f(x)'f'(x)g(x)?g'(x)f(x) [ ]?2g(x)g(x)例： （1）y?x

（3）y?3cosx?4sinx （4）y??2x?3?

（5）y?ln?x?2?

23?x2?4? （2）y?sinx x

复合函数的导数

如果函数?(x)在点x处可导，函数f (u)在点u=?(x)处可导，则复合函数

y= f (u)=f [?(x)]在点x处也可导，并且

(f [?(x)])ˊ= f???(x)???(x)

??或记作 y?x=yu熟记链式法则

u?x

若y= f (u)，u=?(x)? y= f [?(x)]，则

y?x=f?(u)??(x)

若y= f (u)，u=?(v)，v=?(x) y?x=

? y= f [?(?(x))]，则

f?(u)??(v)??(x)

（2）复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。

例1函数y?1的导数. 4(1?3x)解：y?1?(1?3x)?4． 4(1?3x)，u?1?3x，则

设y?u?4y'x?y'u?u'x?(u?4)'u?(1?3x)'x

??4u

?5?(?3)?12u?5?12(1?3x)?5?12．

(1?3x)5例2求y?5x的导数． 1?x15解：y???x??， ?1?x??451?x?y'???5?1?x?1?x????5?1?x??45?x?1?x???????51?x1?x????4'?45?1?x?x(?1)

(1?x)2?11?55??x(1?x)． 25(1?x)6例3 求下列函数的导数

y?3?2x

解：（1）y?3?2x

令 u=3 -2x，则有 y=u，u=3 -2x

??u??yux

由复合函数求导法则y?x 有y′=

?u??u1(3?2x)?x=1?(?2)??

2u3?2x在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量

u，于是前面可以直接写出如下结果：

yˊ=

123?2x?(3?2x)???13?2x

在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程：

yˊ=

123?2x?(?2)??13?2x

例4求下列函数的导数 （1）y=1?2xcos x （2）y=ln (x+1?x21?2xcos x

)

解：（1）y=由于y=而其中1?2x1?2xcos x是两个函数1?2x与cos x的乘积，

又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则，而在求时再用复合函数求导法则，于是

1?2x导数

yˊ=(1?2x)ˊcos x -1?2xsin x

=(?2)21?2xcosx-1?2xsin x=?cosx1?2x-1?2xsin x

（2）y=ln (x+由于y=ln (x+

1?x21?x2) )是u= x+

1?x2与y=ln u复合而成，所以对此函

数求导时，应先用复合函数求导法则，在求u?x时用函数和的求导法则，而求(

1?x2yˊ=)′的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以

1x?1?x2? [1+(

1?x2)ˊ]=1x?1?x2??1?????? 2?21?x?2x =

1x?1?x2?

x?1?x21?x2=

11?x2

例 5 设y?ln(x?x?1) 求 y?. 解 利用复合函数求导法求导，得

y??[ln(x?x2?1)]?1?[1?(x2?1)?] 12?(x?x?1)?x?x2?1x?x2?1?1x?x?12[1?12x?12(x2?1)?]?1x?x?12[1?xx?12]?1x?12.

小结 对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例4中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的.

例6求y=(x－3x+2)sin3x的导数.

解：y′=［(x－3x+2)］′sin3x+(x－3x+2)(sin3x)′

=2(x－3x+2)(x－3x+2)′sin3x+(x－3x+2)cos3x(3x)′ =2(x－3x+2)(2x－3)sin3x+3(x－3x+2)cos3x.

1．求下函数的导数. （1）y?cos

(1)y=(5x－3) (2)y=(2+3x) (3)y=(2－x) (4)y=(2x+x) (1)y=

4

5

23

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x （2）y?2x?1 31?12

4 (2)y= (3)y=sin(3x－) (4)y=cos(1+x) 23(2x?1)63x?1