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专题验收评估(二) 三角函数、解三角形、平面向量
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
?π?4
1．(2017·杭州模拟)已知cos?－α?＝，则sin 2α＝( )
?4?5
A.
247247
B. C．± D．± 25252525
?π???π????4?22?π
解析：选B 因为sin 2α＝cos?－2α?＝cos?2?－α??＝2cos?－α?－1＝2×??－
?2???4???4??5?
7
1＝，所以应选B. 25
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则|2a＋3b|＝( ) A.70
B．45 C．35 D．25
m－2
解析：选B 依题意得，＝，故m＝－4,2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，
21
故|2a＋3b|＝
－4
2
＋－8
2
＝45.
3．(2017·山东高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是( )
A．a＝2b
B．b＝2a C．A＝2B
D．B＝2A
解析：选A 由题意可知sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin(A＋C)，即2sin Bcos C＝sin Acos C，又cos C≠0，故2sin B＝sin A，由正弦定理可知a＝2b.
2?π?4.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋θ)的图象如图所示，f??＝－，3?2?
?π?则f?－?等于( )
?6?
2121A．－ B．－ C. D.
3232解析：选A 由题图知，T＝2?
?11π－7π?＝2π，
?312??12
2?π??π2π??π?∴f?－?＝f?－＋?＝f??＝－.
3??2?3?6??6
5．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cosA＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )
A．10
B．9 C．8
D．5
2
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解析：选D 化简23cosA＋cos 2A＝0，得23cosA＋2cos A－1＝0，解得cos A＝
2
2
2
15
?cos A＝－1舍去?.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，代入数据，解方程，得b＝??5??
13??5?b＝－舍去?.
5??
π??6．(2018届高三·江西百校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?|φ|<，ω>0?的图象在y2??
?π?在原点右侧与x轴的第一个交点为Q?5π，0?，?π?轴右侧的第一个最高点为P?，1?，则f??的值??
?6??12??3?
为( )
A．1
B.
213
C. D. 222
T5ππ
解析：选C 由题意得＝－，所以T＝π，所以ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)，将点
4126
????P?，1?代入f(x)＝sin(2x＋φ)，得sin?2×＋φ?＝1，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)．又|φ|<，?
?
?
π?π5π1??π??ππ?所以φ＝，即f(x)＝sin?2x＋?(x∈R)，所以f??＝sin?2×＋?＝sin＝，选C.
6?36?662??3??
7．将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是( )
A.π
8
π3π3π B. C. D.
484
π
?6
π6π6π2
π?3π?解析：选C f(x)＝2sin?2x＋?的图象在y轴左侧的第一条对称轴方程为x＝－，将4?8?
f(x)的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是
3π
. 8
―→2―→1―→
8．(2018届高三·沈阳十校联考)在△ABC中，点P是AB上的一点，且CP＝CA＋CB，
33
Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM＝tCP，则t的值为( )
1
A. 2
234 B. C. D.
345
―→―→
―→2―→1―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：选C 因为CP＝CA＋CB，所以3CP＝2CA ＋CB，即2CP－2CA＝CB－CP，
33―→―→―→
所以2AP＝PB，故P是AB的一个三等分点．因为A，M，Q三点共线，所以可设CM＝xCQ―→―→―→x―→―→―→―→―→―→x―→＋(1－x)·CA，则CM＝CB＋(x－1)AC (0 22 - 1 -文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. x―→―→―→―→―→1―→―→―→→?x??x－1?― AC.因为CP＝CA－PA＝－AC＋AB，且CM＝tCP (0 AC＝t?－AC＋AB?，所以＝，－1＝－t，解得t＝，故选C. 32324?? 9．已知θ∈[0，π)，若对任意的x∈[－1,0]，不等式xcos θ＋(x＋1)sin θ＋x＋x>0恒成立，则实数θ的取值范围是( ) A.? 2 2 2 ?π，5π? ? ?1212??ππ??π3π? B.?，? C.?，? 4??64??4 2 ?π5π? D.?，? 6??6 解析：选A 由题可设f(x)＝(cos θ＋sin θ＋1)x＋(2sin θ＋1)x＋sin θ.因为θ∈π?π?π5π??[0，π)，所以θ＋∈?，?，所以cos θ＋sin θ＋1＝2sin?θ＋?＋1∈(0，2＋1]， 4?4?4?4?所以关于x的一元二次函数的图象开口方向向上，要使x∈[－1,0]，f(x)>0恒成立，则必有 ?f? ???f0＝sin θ>0， －1＝cos θ>0， ?π?所以θ∈?0，?，此时2cos θ＋2sin θ＋2>2sin θ＋1，则函数 2 ? ? 2sin θ＋12 的对称轴x0＝－>－1，且x0<0，所以Δ＝(2sin θ＋1)－4sin θ(cos θ2cos θ＋2sin θ＋21?π5π??π5π?＋sin θ＋1)<0，整理得sin 2θ>，所以2θ∈?，?，即θ∈?，?，故选A. 6?2?6?1212? 10．已知共面向量a，b，c满足|a|＝3，b＋c＝2a，且|b|＝|b－c|.若对每一个确定的向量 b，记|b－ta|(t∈R)的最小值为dmin，则当b变化时，dmin的最大值为( ) 4 A. 3 B．2 C．4 D．6 解析：选B 不妨设向量a＝(3,0)，则由b＋c＝2a，设|b－a|＝|c－a|＝r，则向量b，c对应的点分别在以(3,0)为圆心，r为半径的圆上的―→―→―→ 直径两端运动，其中OA＝a，OB＝b，OC＝c，并设∠BAH＝θ，如图，―→ 易得点B的坐标B(rcos θ＋3，rsin θ)，因为|b|＝|b－c|，所以|OBr－3―→2222 |＝|CB|，则(rcos θ＋3)＋(rsin θ)＝4r，整理为r－2rcos θ－3＝0，∴cos θ＝， 2r而|b－ta|(t∈R)表示向量b对应的点到动点(3t,0)的距离，向量|b－ta|(t∈R)的最小值为向量―→ b对应的点到x轴的距离dmin，即dmin＝|BH |＝rsin θ＝r1－cos2θ＝ 4－ －r＋10r－9 ＝ 4 4 2 2 r2－5 4 2 ≤2，所以dmin的最大值是2，故选B. 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上) - 1 -文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. ?π??π?11．已知函数f(x)＝tan?x＋?，则f(x)的最小正周期为________，f??＝________. 6???4??π??π??ππ?解析：因为f(x)＝tan?x＋?，所以函数f(x)的最小正周期T＝π，f??＝tan?＋?＝6???4??46? ππ tan＋tan1＋ 46 ＝ππ1－tan·tan 461－答案：π 2＋3 ―→―→―→ 12．在△ABC中，D为BC边的中点，AD＝1，点P在线段AD上，则PA·(PB＋PC)的最小―→ 值为________，这时|PA|＝________. ―→―→―→―→―→―→―→ 解析：依题意得，PA·(PB＋PC)＝2PA·PD＝－2|PA|·|PD|≥－―→2 →―→??|―|AD|1―→―→12PA|＋|PD|2??＝－2＝－2，当且仅当|PA|＝|PD|＝2时取等号， 2?? 1―→―→―→ 因此PA·(PB＋PC)的最小值是－. 211 答案：－ 22 13．(2017·绍兴模拟)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2cosA＋3sin 2A＝2，b＝1，S△ABC＝ 3b＋c，则A＝________，＝________. 2sin B＋sin C2 3333 ＝2＋3. π?1?2 解析：因为2cosA＋3sin 2A＝2，所以cos 2A＋3sin 2A＝1，sin?2A＋?＝，因为A6?2?π?π13π?π5ππ1π ∈(0，π)，所以2A＋∈?，，所以2A＋＝，解得A＝，所以S△ABC＝bcsin＝?6?6?6663233π2222 ，所以bc＝2，又b＝1，所以c＝2.由余弦定理得a＝b＋c－2bccos＝5－2＝3，所以a23π1b＋c322 ＋b＝c，所以△ABC为直角三角形，C＝，所以sin B＝，sin C＝1，所以＝22sin B＋sin C1 ＋12＝2. π答案： 2 3 π 14．设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则a·b＝____， 3向量a在b方向上的射影为________． - 1 -文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 11 解析：依题意得|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e21＋6e1·e2＝2＋6×＝ 225，|b|＝2，所以向量a在b方向上的射影为|a|cos〈a，b〉＝ 5 答案：5 2 15．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________. 解析：法一：由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理，得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin a·b5 ＝. |b|2 Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B＞0，因此cos B＝.又0＜B＜π，所以B＝. a2＋c2－b2a2＋b2－c2 法二：由2bcos B＝acos C＋ccos A及余弦定理，得2b·＝a·＋ 2ac2abb2＋c2－a21222 c·，整理得，a＋c－b＝ac，所以2accos B＝ac＞0，cos B＝.又0＜B＜π，所以B2bc2 π＝. 3 π答案： 3 16．(2017·山东高考)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 解析：因为 3－λ3－λ＝， 2 |3e1－e2|·|e1＋λe2|21＋λ3e1－e2·e1＋λe2 1 2π3 故 13＝，解得λ＝. 2 321＋λ2 3 3 答案： 17．(2017·宁波质检)已知平面向量α，β(α≠0)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________． ―→―→ 解析：如图，设AC＝α，AB＝β，则在△ABC中，∠ACB＝60°，|α||β|sin∠ABC23 根据正弦定理得＝，即|α|＝＝sin∠ sin∠ABCsin 60°sin 60°3 ABC，由于0°<∠ABC<120°，所以0 23 . 3 ?23?答案：?0，? 3?? 三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) - 1 -文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
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