课时作业2 导数几何意义 |基础巩固|(25分钟，60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则曲线在点A处切线斜率为( ) A．4 B．16 C．8 D．2 22Δy2?x＋Δx?－2x解析：因为Δx＝＝4x＋2Δx，所以 ΔxΔyf′(x)＝lim Δx＝lim (4x＋2Δx)＝4x. Δx→0Δx→0则点A处切线斜率k＝f′(2)＝8. 答案：C x212．已知曲线y＝一条切线斜率为，则切点横坐标为( ) 42A．1 B．2 C．3 D．4 Δy11解析：∵y′＝lim Δx＝2x＝2，∴x＝1，∴切点横坐标为1. Δx→0答案：A 3．曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处切线斜率是( ) A．－4 B．0 C．4 D．－2 ΔyΔy解析：因为Δy＝－2(Δx)2，所以Δx＝－2Δx，lim Δx＝lim (－2Δx)＝0，由导数几何意义知Δx→0Δx→0切线斜率为0. 答案：B 4．若曲线f(x)＝x2一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l方程为( ) A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 ?x＋Δx?2－x2解析：设切点为(x0，y0)，∵f′(x)＝lim ＝lim (2x＋Δx)＝2x.由题意可知，切线ΔxΔx→0Δx→0斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，∴x0＝2.∴切点坐标为(2,4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A. 答案：A 5．与直线2x－y＋4＝0平行抛物线y＝x2切线方程为( ) A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0 解析：由导数定义求得y′＝2x， ∵抛物线y＝x2切线与直线2x－y＋4＝0平行， ∴y′＝2x＝2?x＝1，即切点为(1,1)， ∴所求切线方程为y－1＝2(x－1)， 即2x－y－1＝0，故选D. 答案：D 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2＝________. 解析：因为直线3x－y－2＝0斜率为3，所以由导数几何意义可知y′|x＝2＝3. 答案：3 b7．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处切线斜率为2，则a＝________. a?1＋Δx?2＋b－a－b2解析：lim ＝lim (a·Δx＋2a)＝2a＝2，所以a＝1，又3＝a×1＋b，所ΔxΔx→0Δx→0b以b＝2，即a＝2. 答案：2 8．给出下列四个命题： ①若函数f(x)＝ x，则f′(0)＝0； ②曲线y＝x3在点(0,0)处没有切线； 3③曲线y＝ x在点(0,0)处没有切线； ④曲线y＝2x3上一点A(1,2)处切线斜率为 6. 其中正确命题序号是________． 解析：①f(x)＝ x在点x＝0处导数不存在． ②y＝x3在点(0,0)处切线方程为y＝0. ③y＝ x在点(0,0)处切线方程为x＝0. 2?1＋Δx?3－2×13④k＝y′|x＝1＝lim ＝6. ΔxΔx→03故只有④正确． 答案：④ 三、解答题(每小题10分，共20分) 9．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处切线平行直线． 解析：曲线y＝3x2－4x＋2在M(1,1)斜率 k＝y′|x＝1 3?1＋Δx?2－4?1＋Δx?＋2－3＋4－2＝lim ΔxΔx→0＝lim (3Δx＋2)＝2. Δx→0∴过点P(－1,2)直线斜率为2， 由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0. 所以所求直线方程为 2x－y＋4＝0. 10．(1)已知曲线y＝2x2－7在点P处切线方程为8x－y－15＝0，求切点P坐标． (2)在曲线y＝x2上哪一点处切线，满足下列条件： ①平行于直线y＝4x－5； ②垂直于直线2x－6y＋5＝0； ③与x轴成135°倾斜角． 分别求出该点坐标． 解析：(1)设切点P(x0，y0)， [2?x＋Δx?2－7]－?2x2－7?Δy由y′＝lim Δx＝lim ΔxΔx→0Δx→0 ＝lim (4x＋2Δx)＝4x， Δx→0得k＝y′|x＝x0＝4x0，根据题意4x0＝8， x0＝2，代入y＝2x2－7得y0＝1. 故所求切点为P(2,1)． f?x＋Δx?－f?x?(2)f′(x)＝lim Δx?x＋Δx?2－x2＝lim ＝2x. ΔxΔx→0Δx→0设P(x0，y0)是满足条件点． ①因为切线与直线y＝4x－5平行， 所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)． ②因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直， 139所以2x0·＝－1，得x＝－，y＝03204， ?39?即P?－2，4?. ??③因为切线与x轴成135°倾斜角，则其斜率为－1. 11即2x0＝－1，得x0＝－2，y0＝4， ?11?即P?－2，4?. ??|能力提升|(20分钟，40分) 11．设曲线y＝ax2在点(1，a)处切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( ) 1A．1 B.2 1C．－2 D．－1 a?1＋Δx?2－a×12解析：∵y′|x＝1＝lim Δx＝lim Δx→02aΔx＋a?Δx?＝lim (2a＋aΔx)＝2a， ΔxΔx→0Δx→02∴2a＝2，∴a＝1. 答案：A 112．已知曲线f(x)＝ x，g(x)＝x过两曲线交点作两条曲线切线，则曲线f(x)在交点处切线方程为__________________． ?y＝ x，?解析：由?1y＝??x ?x＝1，得? ?y＝1， ∴两曲线交点坐标为(1,1)． 由f(x)＝ x， 1＋Δx－1得f′(x)＝lim ＝lim ΔxΔx→0Δx→011＝2， 1＋Δx＋1 ∴y＝f(x)在点(1,1)处切线方程为 1y－1＝(x－1)． 2即x－2y＋1＝0. 答案：x－2y＋1＝0 13．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切直线斜率以及切线方程． 解析：设切点坐标为(x0，y0)，则有y0＝x20. ?x＋Δx?2－x2Δy因y′＝lim Δx＝lim ＝2x. ΔxΔx→0Δx→0∴k＝y′|x＝x0＝2x0. 因切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)， 2将点(1，－3)代入，得－3－x20＝2x0－2x0， 2∴x0－2x0－3＝0，∴x0＝－1或x0＝3. 当x0＝－1时，k＝－2； 当x0＝3时，k＝6. ∴所求直线斜率为－2或6. 当x0＝－1时，y0＝1，切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0； 当x0＝3时，y0＝9，切线方程为y－9＝6(x－3)，即6x－y－9＝0. 14．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上点到直线最短距离． 解析：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行抛物线y＝x2切线对应切点到直线x－y－2＝0距22?x＋Δx?－x1002离最短，设切点坐标为(x0，x0)，则y′|x＝x0＝lim ＝2x0＝1，所以x0＝， Δx2Δx→0?11?所以切点坐标为?2，4?， ??切点到直线x－y－2＝0距离 ?11??2－4－2???72d＝＝8， 272所以抛物线上点到直线x－y－2＝0最短距离为8.
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