案例课1

案例课1

一、归纳

统计学包括两部分内容：描述统计和推断统计 本门课的研究对象：单变量和双变量统计问题

本门课的内容结构 单变量 名义变量 描述统计 描述 运算 比例 =，≠ 顺序变量 比例、 >, < 间距变量（连续变量） 平均数、方差、标准差 +，- 双变量差异或关系 两个分类变量 交叉表（百分比） Phi，Lamda， Gama 卡方检验 一个分类一个间距 两或多个平均数比较、 方差分析 两个间距变量 简单回归 相关系数， F检验 推断统理论 计（区间应用 估计、假设检验） 抽样分布、中心极限定理 标准误，置信区间 t检验，F检验

二、统计学的核心：

1、推断统计，从样本向总体的过渡 假定已知总体: N = 4,

? X1 = 1 ? X2 = 2 ? X3 = 3 ? X4 = 4

总体平均数: N XiX?X2?X3?X41?2?3?4 ??i?1??2.5N44

N?4

实际上我们是得不到总体平均数的。我们是通过抽样，并用样本平均数来推断总体平均数。如果我们从总体中随机抽取2个样本，比如得到1和3两个数。那么样本的平均值：

?x??xi?1nin?1?3?2 2n?2我们的目的是要用样本平均数来估计总体平均数。想一想，我们是怎样从样本走到总体的？

我们面前有一条鸿沟。这条沟跨不过去，我们是估计不出来总体的。因此需要搭桥。

在总体中随机抽取两个数（样本为n=2），共有42 = 16 种可能的抽法。下面列出所有可能样本的结果。 Possible Sample 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Selection 1 x(1) 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 Selection 2 x(2) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 Probability of Sample ? 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16 Total = 1

我们得到了x的一个分布。下面来考察这个分布。 计算出 x 分布的频数表： x1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 合计 出现的频数（个数） 1 2 3 4 3 2 1 16 Sample Mean x?x(1)?x(2)1.0 1.5 2.0 2.5 1.5 2.0 2.5 3.0 2.0 2.5 3.0 3.5 2.5 3.0 3.5 4.0 ??2

所有可能样本平均数 y S 的分布为 5/16 4/16 3/16 Probability2/16 2/16? 1/16 01

234Value of x

在实际中，我们不可能把所有样本都抽出来，而只能抽一次，即其中的一组样本。比如我们抽中了上面的第二组样本（1，3）。那么我们这里共有三种分布，以及三个平均数，三个方差。

这三个分布分别是总体分布，样本分布和所有可能样本平均数的分布。 样本值（x） 所有可能各组样本总体值（X） 分布 1 2 3 4 1 3 的平均数x的值 1.0 1.5 2.0 2.5 1.5 2.0 2.5 3.0 2.0 2.5 3.0 3.5 2.5 3.0 3.5 4.0 2.5 0.625 平均数 方差

2.5 1.25 2 2 当n增大时，这个分布将接近正态分布。比如，在90个学员中抽取9名学员共有909种可能的样本，或平均数，其分布就是稳定的。

中心极限定理告诉我们：所有可能样本平均数的分布是正态分布，其中所有可能样本平均数的平均数等于总体平均数，所有可能样本平均数分布的方差等于总体平均数除以样本规模。即：

E(x)?x???(x)?2?2(X)

n即 ?2(X)2x} ~N{x,?(x)}?N{?,n所有可能样本平均数的标准差为：

?(x)??(X)n 也叫标准误（Standard Error，简称为SE）。

我们不知道什么？我们不知道抽到的样本是哪一组，即不知道抽到的样本平均数是否能比较准确地接近总体平均数。

我们知道什么？所抽中的样本平均数落在总体平均数附近的概率（可能性）有多大。比如，全班作为总体，平均年龄为24岁（方差为9），抽中的样本得到的平均年龄为27岁。我们实际上可以计算出偏离实际平均年龄（24岁）三个年龄的可能性有多大。

如果把 x 的分布化为标准正态分布，则：

Standard Normal Distribution-6-5-4-3-2-10z-value123456z?x??27?24??1

?(x)9/9对于标准正态分布来说，0±z所围城的面积（概率）是固定并已知的。尽管我们并不知

道抽中的样本平均值会落到哪里，但我们会知道它落到任何位置上的可能性有多大。

2、单样本假设检验： ? 原假设：总体的平均年龄μ = 24岁