春季周末（八年级下） 数学学案 懒惰是没有出息的表现，勤奋才是成功的标志！
第九讲 相似形（二）
一、知识梳理 （一）、平行线分线段成比例定理（补充定理） 定理：如图1，若AB∥CD∥EF，那么
ACBD?。（证明过程，按图中虚线的提示） CEDFAEB 图5
ABABABA
CDD CEFFED CBCEEFF 图1 图2 图3 图4推理1 如图２，若AB∥CD∥EF且AC=CE，那么BD=DF。
推理2 如图3，经过梯形一腰的中点而平行底的直线，必定平分另一腰。 推理3 如图4，△ABC中，EF∥BC，那么
FCAEAF?。 EBFC推理4 如图5，经过三角形一边的中点而平行另一边的直线，必定平分第三边。 （二）、相似三角形的判定
1、判定两个三角形相似的条件（1）平行截割： _____ （2）两角对应相等： （3）两边夹： （4）三边比：_____________________________________ 2、判定两个三角形相似的一般步骤
（1）先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角
（2）若只能找到一对对应角相等，则再找到一对对应角相等,或找夹这个角的两边是否对应成比例。 （3）若找不到相等的角，就分析三边是否
3、相似三角形有传递性：若△A1B1C1∽△A2B2C2，△A2B2C2∽△A3B3C3，则△A1B1C1 △A3B3C3 4、寻找相似三角形的思路（1）、横向三点定形法：分别观察所证线段比例式的分子和分母，它们各自两条线段的四个字母中
不同的三个字母是否分别为某三角形的三个顶点？要证
ABBC? BEEF（2）、纵向三点定形法：与横向三点定形法一样，当横向定形行不通时，改用各个比的分子和分母进行定形．如要证
ABDE? BCEFDADEABCE（3）、基本图形定形法 １．（平截型）平行线型，即“A”型或“X”型
如右图，ＤＥ∥ＢＣ，则有ΔＡＤＥ∽ΔＡＢＣ． ２．斜截型
（1）等角对顶型(蝴蝶型)：
如右图，∠Ｄ＝∠Ｂ，则有ΔＡＤＥ∽ΔＡＢＣ．
BDCEABAC（2）．共角等角型：
D如右图，∠ＡＤＥ＝∠Ｂ，则有ΔＡＤＥ∽ΔＡＢＣ． （3）．共边等角型(套型)
B如图４，∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，则有ΔＡＣＤ∽ΔＡＢＣ．这
是最常见的、也是最难识别的相似三角形，由于在这两个三角形相似的背
2Ａ
EＤ CＢ 图４
后存在着AC?AD?AB因此许多与比例中项有关的证明题大多以此为背景．
1
春季周末（八年级下） 数学学案 懒惰是没有出息的表现，勤奋才是成功的标志！
3、母子型相似：如图：∠BＡＣ=90,AD⊥BC,则有 ∽ ∽
射影定理：（1）_________________________________________________
A（2）________________________ （3）__________________________ 你必须记住这几个基本图形
CB（三）相似三角形的性质 D1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比。 3、相似三角形对应周长的比等于相似比。
4、相似三角形对应面积的比等于相似比的平方。
二、重难点高效突破（相似三角形性质和判定的应用） (一)、判断题:
(1) 所有的等腰三角形都相似。 （ ） (2) 所有的等边三角形都相似。 （ ） (3) 所有的直角三角形都相似。 （ ） (4) 所有的等腰直角三角形都相似。 （ ） (5) 相似比为1的两个相似三角形是全等三角形。 （ ） (6) 顶角相等的两个等腰三角形相似 （ ） (7) 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 （ ） (8) 斜边、直角边对应成比例的两个直角三角形相似 （ ） (9) 任意两个平行四边形都相似 （ ） (10)任意两个矩形都相似 （ ） (11)任意两个菱形都相似 （ ） (12)任意两个正方形都相似 （ ）
（二）填空、选择题：1、如图1，AB∥CD，∠D=∠AEC，则图中有______对相似三角形。
2、如图2，已知△ABC，P是AB边上一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______ (至少写出两种合适的条件)
3、如图3，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF=
0
AAA ADCC BEPFG
ABBBCCCB ED 图5 图6 图3 图1 图2
4、如图:直角三角形的铁片ABC的两条直角边BC,AC的长分别是3和4,分别采用(5),(6)两种方法,剪出一块正方形铁片,剪下的正方形铁片面积哪个较大,并说明理由.
5、两相似三角形对应高之比为3∶4，周长之和为28cm，则两个三角形周长分别为___________,若它们的面积和为102cm，则较大三角形的面积为_________.
1FD，EF交AC于G，则AG∶AC=______. 26、如图，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的为（ ） B A
C A B 2
C D 春季周末（八年级下） 数学学案 懒惰是没有出息的表现，勤奋才是成功的标志！
7、如图，已知AD∥EF∥BC，且AE=2EB，AD=8cm,BC=14cm， 则S梯形AEFD：S梯形BCFE=_________.
AEBDFCD（三）解答题（分类训练） 1、（利用两角对应相等证三角形相似）
例1、已知，△ABC中∠BAC=90°，M为斜边BC的中点，DM⊥BC交BA延长线于D，交AC于E。 求证：MN=MD·ME
跟踪训练
如图△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，D、B、C、E 四点在一直线上
求证：（1）△ADB∽△EAC （2）BC=DB·CE
22ABEMCADBCE 2、（利用平行截割证三角形相似）
A例2、（1）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点P，
过点P的直线EF∥BC分别交AB、CD于E、F。 ①求证：PE=PF， E②
DPFC111??， ③ 找出S?ABD,S?ABC,S?ABP间的关系。 ADBCPEB
跟踪训练 1、（江苏泰州中考题）如图△ABC中，AE：EB=1：3， BD：DC=2：1，AD与CE交于F，则
AEFBDCEFAF?的值是________. FCFD 3
春季周末（八年级下） 数学学案 懒惰是没有出息的表现，勤奋才是成功的标志！
3、如图，□ABCD中，O1，,O2,O3为对角线BD上三点，连接EO3BO1?O1O2?O2O3?O3D，连接AO1并延长交BC于点E，
FAD O3 O2 O1BCE并延长交AD于点F，则AD：FD=_____。
A4、如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E为
EAC中点，延长ED交AB的延长线于F。
B求证：（1）AB：BF=AC：DF （2）AB：AC=DF：AF CDF
5、（2005上海）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC
DA（1）如果P、E、F分别是BC、AC、BD的中点，求证AB=PE+PF
DAEF（2）如果P是BC上任意一点，（中点除外），PE∥AB，PF∥DC， ECF那么AB=PE+PF还成立吗？若成立，请证明；若不成立说明理由 BPCB P 3、（利用两边夹定理证三角形相似）
AD例3、如图，已知矩形ABCD中，BC=3AB，E、F是BC的三等G分点。求证：GE⊥AF BCEF
A跟踪训练
D1、 如图，已知AC是AD和AB的比例中项。 求证：∠ACD=∠B CB
4
相关推荐：
loading