2007论文
辅助函数在中学数学解题中的应用
朱转德
【摘 要】 函数是中学数学永远的主题,应用非常广泛.它联系着中学数学的各
种问题,本篇论文主要通过举例阐述构造辅助函数在中学数学中包括方程、等式、不等式、数列等问题的应用，以提高中学生对辅助函数的应用意识.
【关键词】 辅助函数，等式，方程，不等式，数列
The Application of Auxiliary Function in Math in the
Middle School
【Abstract】 Function, as the permanent theme of the math in the middle
school ,has a variety of applications , connecting with all types of questions in math in middle school. This paper mainly analyses the application of formation of auxiliary function in math, including equation , equality , inequality , sequence of number and so on, so as to improve students’ consciousness of auxiliary function. 【Key Words】 auxiliary function, equality, equation, inequality , sequence of number
解题过程就是不断地将未知数转化为已知的过程，而构造法就是根据题设条件和结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借它认识“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒”与解决原问题的一种方法.正由于构造法的这些特点与所要求的解题转化过程很好的吻合.构造法也就成为数学家常用的解决问题的思想方法，并且在中学数学中有着广泛的应用.函数思想是一种重要的数学思想方法，它指用联系和变化的观点提出数学对象，抽取其数量特征，设法建立目标函数关系，并确定变量的限制条件，用函
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数的观点加以分析，使问题变得明了，从而找到一种科学的解题途径.因而，构造函数解题成为数学中的常用方法，通过巧妙地构造辅助函数，把原来的问题转化为研究辅助函数，进而达到解题的目的.
函数是中学数学的主要内容之一，下面针对辅助函数在中学数学解题中的应用展开论述，分别就辅助函数在解方程、求值、证明等式、证明不等式、以及数列问题等几个方面探讨.
1 辅助函数在证明等式中的应用
针对这块内容，通过一个例子来说明这一类型的题目是如何运用辅助函数法的.
例1 已知??k???2,??k???2,(k?z),
且(3tan??cot?)3?tan3??4tan??cot??0,求证：4tan??cot??0.
分析：这道题表面上看起来是一道三角函数题，可如果用三角函数内容里的角代换，或诱导公式，都很难将题目解出，所以我们只能另辟蹊径——构造辅助函数.考虑到4tan??cot?可拆项成(3tan??cot?)?tan?,即原题中的已知方程可改写成(3tan??cot?)3?(3tan??cot?)?tan3??tan??0. 证
明
：
由
(3tan??cot?)3?tan3??4tan??cot??0,可得：
(3tan??cot?)3?(3tan??cot?)?tan3??tan??0 （1）显然我们知道f(x)在R上单调递增函数且为奇函数，对于（1）式可化为
f(3tan??cot?)??f(tan?)?f(?tan?)对于单调函数有3tan??cot???tan?,
即4tan??cot??0.
点评：在处理此类题目时，切不可掉入题设的陷阱中，如本题会误以为是三角函数题目，而应该认真观察分析题目所给条件的特点，结合结论来解题.
II
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2 辅助函数在解方程或方程组中的应用
中学数学不可能永远只解一次方程或方程组，而一旦次数升高，解方程或方程组也将会复杂起来，这时构造辅助函数不失为一种巧妙简捷的解题方法，下面分别举例说明： 例2.1 解方程 3x?4x?5x.
分析：这道题虽然是一元方程，但因为涉及到指数函数，难度就远远超过一元一次方程，考虑用辅助函数法，仔细观察方程结构，发现原方程可化为
3434f(x)?()x?()x?1,构造函数f(x)?()x?()x，即可将问题简化.
55553434解：显然f(x)?()x?()x为R上的减函数，易知f(2)?()2?()2?1.
5555当x?2时，f(x)?f(2)?1;当x?2时，f(x)?f(2)?1，所以显然只有x?2时
x?2为原方程的唯一解. f(2)?，也即1例2.2 解方程(6x?5)?1?(6x?5)2?4??x(1?x2?4)?0.
??分析：本题是关于x的一元方程，如果按照常规的解题思路，先去根号再来解将会使问题变得非常复杂，仔细观察其结构特征，将方程转化为
(6x?5)[1?(6x?5)2?4]??x(1?x2?4),解决问题将是事半功倍.
解：构造函数f(x)?x(1?x2?4),显然f(x)在R上为单调递增函数且为奇函数，即有f(6x?5)??f(x)，?f(x)为单调递增函数 ?6x?5??x .
5 即x??为原方程的解.
7点评：用构造函数法解题的巧妙之处在于利用函数的单调性及奇偶性，将原问题转化函数问题，是一种解题的好方法.
III
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1?32x?y?y?,?3?1?例2. 3 解方程组?y3?z2?z?,(x,y,z?R).
3?1?32z?x?x??3,?分析:这是一道比较复杂的三元方程,面对如此的方程组,常规的方法更显得繁琐,计算量非常大.挖掘隐含信息,考虑到原方程组x,y,z之间很有规律地排列,联想各种知识,即可构造函数模型解之.
1?32x?y?y?,?3?111?解:原方程组可化为?y3?z2?z?,?x3?(y?)2??0,?x?0 .
2123?1?32z?x?x??3,? 同理y?0,z?0.
1构造函数f(u)?3u2?u?(u?0),易知f(u)在(0,??)上是单调递增函数且
3f(u)?0.不妨设x?y 则必有f(x)?f(y)?z?x
进一步?f(z)?f(x)?y?z 故有y?x,与所设x?y矛盾.
同理可证x?y也不可能,故必有x?y. 同理可证x?z,z?y. 因而有x?y?z.
1再解方程x3?x2?x?,即3x3?3x3?3x?1?0.而(x?1)3?x3?3x2?3x?1,
3知4x3?(x?1)3?34?x?1?x?1. 34?11 故原方程的解为34?1x?y?z?点评:类似这样的方程组一般出现在竞赛数学中,从题中挖掘体现数学的奇
IV
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