辅助函数在中学数学中的应用

2007论文

?f(n?1)?f(n)?1111????0?f(n?1)?f(n). 2n?12n?2n?1(2n?1)(2n?2)从而f(n)是在A??2,3,??4,?上关于n的单调递增函数,则必有

7f(n)?f(2?)

127121即?f(n)?min??loga(a?1)??loga(a?1)??1 又?a?1?a?1?

12123a得 1?a?1?5 即为所求的取值范围. 2点评:抓住题目特点.深刻理解此类题目的共同方法,解决这类问题不再是困难.

4.4 构造指数函数求参数的范围

显然这是一类与指数函数有关的题目,一般利用指数函数的值域为(0,??)和其单调性来解.

1?2x?4x?a(a?R),如果当x?(??,1]时,f(x)有意义,例4.4.1 已知函数f(x)?lg3求a的取值范围.

解:要使原函数有意义,应有x?(??,1]时，1?2x?4x?a?0

1??1即a???()x?()x?，对任意x????,1?均成立.

2??41??1构造函数g(x)???()x?()x?, x?(??,1] 易知g(x)为定义域上的增函数.

2??43要使a?g(x)恒成立,只须a??g(x)?min?g(1)??即可.

4?3?因此,所求的范围为??,???.

?4?点评:虽然本题的实质是含有2x形式的特殊的一元二次不等式,但构造特殊

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的函数来解却能很快地将题目解出,由此可见辅助函数的简单魅力所在.

5 辅助函数在数列中的应用

数列是按一定的顺序排列的一列数，它可以看作是一个定义域为正整数集

N?（或是它的有限子集?1,2,??n?）的函数，当自变量从小到大依次取值时，

对应的一列函数值，因此数列是一种特殊的函数，用函数的思想研究解决数列 的有关问题是必须掌握的一种特殊方法.下面列举几例以作剖析. 例5.1 在等差数列 ?an?中，a1?12，S3?S10，求Sn的最大值.

n(n?1)3?(3?1)10(10?1)d及S3?S10得3?12?d?10?12?d 222n(n?1)13169(?2)??n2?13n??(n?)2?得d??2，于是Sn?12n? 2241316913考虑二次函数f(x)??(x?)2?当x?时，函数有最大值

24213169?42 又f(6)?f(7)??(6?)2?24解：Sn?na1??当n?6或n?7时，Sn有最大值为42.

n2例5.2 已知数列通项 an?，证明对于任意不相等的自然数m，n ，都2(1?n)有am?an?am?n?2.

x212证明：令函数f(x)??(1?)，易知当x?0时，f(x)是增函数，

(1?x)21?x且

mn?2时，

22m2nm?n?2mn?2nm?2nmf(m)?f(n)???(1?m)2(1?n)(1?m)(1?2n)?m2?2(?mn2?221?n2m2?f(?)nn(?(m2)2? X

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即有an?am?an?m?2得证.

点评：数列的通项公式，前n项和公式都可以看成n的函数，并以此作为映射关系，把某些问题转化为研究相应函数的性质，根据函数的性质，反演回去，就可以将问题轻而易举地解决.

6 辅助函数在不等式中的应用

不等式是中学数学的又一大内容，辅助函数是解决不等式问题包括证明不等式、解不等式等的一个非常重要且常见的解题方法.构造辅助函数时要求学生能敏锐地观察不等式的结构特征，用分析的观点去加以解释，联想不等关系中所蕴涵的函数关系，从而能够准确快速地构造合适的函数模型.

6.1 辅助函数在证明不等式中的应用

6.1.1构造单调函数

构造函数解决不等式有关问题是很常见的，通常都是构造单调函数，并利用其单调性来完成解答.

例6.1.1.1 设a，b，c为三角形三边，求证

abc??. 1?a1?b1?cx，1?x分析：由要证的不等式特点可知，不等式中三项分别为函数f(x)?在a，b，c三点处的函数值，自然联想到构造函数f(x)?解：构造辅助函数f(x)?x. 1?xx1?1?，易知f(x)在(0,??)上为单调递增函数. 1?x1?x因为a，b，c为三角形三边，故c?a?b，亦即f(c)?f(a?b) 即

ca?babab????? 1?c1?(a?b)1?(a?b)1?(a?b)1?a1?babc?? 本题得证. 1?a1?b1?c?例6.1.1.2 已知x，y?R，且2x?3y?2?y?3?x，求证x?y?0.

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分析：已知条件中2x?3y?2?y?3?x变形为2x?3?x?2?y?3y之后，很容易联想构造辅助函数来解.

证明：构造函数f(x)?2x?3?x，容易证明f(x)为R上的单调递增函数. 已知条件可转化为f(x)?f(?y)即x??y，x?y?0本题得证.

点评：以上两例均是通过将已知条件转化，得到熟悉的函数模型，利用函数的单调性质，很快将问题解决，既快捷又准确无误. 例6.1.1.3 求证：e???e.

分析：越是题目内容很少越难证明，因为所给的已知条件太少，思维需要深刻才能从条件与结论中挖掘隐含的解题信息.本题从表面上看只有信息e??，这也是解此题的关键所在，联想构造辅助函数. 证明：令f(x)?故f(x)?lnxlnx?（x?e）则f?(x)?1?lnx?0 （x?e） 2x?（x?e）在定义域上是单调递减函数.

lneln??即e???e.本题得证. e?b2(b?a)例6.1.1.4 设b?a?0，证明ln?.

aa?b又因为e??，所以

分析：关于纯字母参数的问题是中学数学中对于学生来说既典型又很难处理的问题，它需要很强的技巧和深刻的思维.通过构造学生比较熟悉的初等函数是一个非常值得推崇和重视的解题方法.

b2(?1)bb证明：将结论中不等式变形为ln?a，于是将视作自变量.

baa?1a2(x?1)4?2（x?1） 构造辅助函数f(x)?lnx?（x?1）也即f(x)?lnx?x?11?x14(x?1)2又f?(x)????0，从而知f(x)为定义域上的单调递增函数，

x(1?x)2x(1?x)2 XII