《坐标系与参数方程》专项练习
一、知识梳理．
1．极坐标与直角坐标的互化．
设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：
y??2?x2?y2?x??cos??M（1）?， （2）? yρ?y??sin??tan??xy?θOxAx?x?f(t)2．参数方程?(t为参数)化为普通方程的常用方法．
?y?g(t)（1）代入法/加减法消参．
（2）借助三角恒等式sin2θ＋cos2θ＝1（θ为参数）消参． 3．直角坐标方程，极坐标方程和参数方程的转化关系． 极坐标方程 直角坐标方程(普通方程) ?
(ρ，θ) (x，y)
二、练习专项．
【题型1】①极坐标方程 ? 直角坐标方程．
②参数方程 ? 直角坐标方程．
?
参数方程 (t为参数) ??x?3cos?1．（2016全国Ⅲ卷，文科23，10分）在直线坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为???y?sin? （α为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方?程为ρsin(θ＋)＝22．
4（Ⅰ）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P在C1上，点Q在C2上，求∣PQ∣的最小值及此时P的直角坐标．
??x?3cos?解：（Ⅰ）由?消去参数α得……………………1分
??y?sin?（此处为消参的计算过程，可省略） ?x22??cos?①?x两边平方，得?3 ?cos??22?y?sin?②变形得?3 ??y?sin??x2①＋②，得＋y2＝1 3
x2C1的普通方程为＋y2＝1……………………2分
3?∵ρsin(θ＋)＝22 4??∴ρ(sinθcos＋cosθsin)＝22……………………3分
44ρ(22sinθ＋cosθ)＝22 2222ρsinθ＋ρcosθ＝22 22ρsinθ＋ρcosθ＝4……………………4分 ∵ρcosθ＝x，ρsinθ＝y
∴x＋y＝4……………………5分
（Ⅱ）由题意，可设点P的直角坐标为(3cos?,sin?)……………………6分
∵C2是直线 ∴|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(?)的最小值 d(?)?|3cos??sin??4|??2|sin(??)?2|………………8分
32当且仅当??2k???6(k?Z)时，d(?)取得最小值，最小值为2………………9分
31此时P的直角坐标为(,)………………10分
22
2．（2009全国卷，文/理23，10分）已知曲线C1：??x?8cos??x??4?cost（t为参数），C2：??y?3?sint?y?3sin?（θ为参数）．
（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
?（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：
2?x?3?2t（t为参数）距离的最小值． ?y??2?t?解：（Ⅰ）由C1：??x??4?cost消去参数t得……………………1分
y?3?sint?（此处为消参的计算过程，可省略） 变形得?
?x?4?cost y?3?sint??(x?4)?cos2t①两边平方，得? 22(y?3)?sint②?①＋②，得(x＋4)2＋(y－3)2＝1 ∴C1的普通方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝1……………………2分
∴C1为圆心是(－4，3)，半径是1的圆
?x?8cos?由C2：?消去参数θ得……………………1分
?y?3sin?（此处为消参的计算过程，可省略） ?x2?x?cos???8变形得? y??sin???3?cos2?①??64两边平方，得?2 y??sin2?② ??9x2y2①＋②，得＋＝1 649x2y2∴C2的普通方程为＋＝1……………………2分
649∴C2为焦点在x轴上的椭圆 （Ⅱ）当t??时，P(?4,4)，Q(8cos?,3sin?) 2故M(?2?4cos?,2?3sin?) 2C3为直线x?2y?7?0 M到C3的距离d?从而当cos??5|4cos??3sin??13| 58543,sin???时，d取得最小值 555
【题型2】①直角坐标方程 ? 极坐标方程．
②直角坐标方程 ? 参数方程．
3．（2016全国Ⅱ卷，文科23，10分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
?x?tcos?（Ⅱ）直线l的参数方程是?(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10．
y?tsin??求l的斜率． 解：（Ⅰ）由圆C的方程?x?6??y?25可得……………………1分
x2＋12x＋36＋y2＝25 x2＋y2＋12x＋11＝0……………………2分
把x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入上式得……………………3分 ρ2＋12ρcosθ＋11＝0……………………4分
∴圆C的极坐标方程为ρ2＋12cosθ＋11＝0……………………5分 （Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)
由A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2……………………8分 将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得 ρ2＋12ρcosα＋11＝0……………………7分 于是?1??2??12cos?,?1?2?11, |AB|?|?1??2|?(?1??2)2?4?1?2?144cos2??44,……………………8分
22由|AB|＝10得 315……………………9分 cos2??,tan???83∴l的斜率为1515或?……………………10分 33
4．（2015全国Ⅰ卷，文/理23，10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2
＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积． 解：（Ⅰ）把x＝ρcosθ代入C1：x＝－2得ρcosθ＝－2……………………1分
∴C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2………………2分 由C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1得 (x2－2x＋1)＋(y2－4y＋4)＝1 x2＋y2－2x－4y＋1＋4＝1
x2＋y2－2x－4y＋4＝0………………3分
把ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式得………………4分 C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0………………5分 （Ⅱ）将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得
ρ2－32ρ＋4＝0………………6分
解得ρ1＝22，ρ2＝2………………7分
故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2………………8分 由于C2的半径为1
∴△C2MN的面积为12………………10分
?x?2?tx2y2?1，直线l：?5．（2014全国Ⅰ卷，文/理23，10分）已知曲线C：?(t为参数)．
y?2?2t49?（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程； （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小
值．
解：（Ⅰ）∵曲线C：x24＋y29＝1
x2y2∴()?()?1 23又∵sin2θ＋cos2θ＝1 xy∴＝cosθ，＝sinθ 23∴x＝2cosθ，y＝3sinθ ?x?2cos?曲线C的参数方程为?(θ为参数)．
y?3sin??由直线l：x＝2＋ty＝2－2t消去参数t得 （此处为消参的计算过程，可省略） 把③代入②，得 x＝2＋t① y＝2－2t② y＝2－2(x－2) 由①得t＝x－2 ③ 整理得2x＋y－6＝0 直线l的普通方程为2x＋y－6＝0．
（Ⅱ）曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为
d＝55|4cosθ＋3sinθ－6| 则|PA|＝dsin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝43 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为2255 当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为255
6．（2014全国Ⅱ卷，文/理23，10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的
参数方程，确定D的坐标．
解：（Ⅰ）∵ρ＝2cosθ
∴ρ2＝2ρcosθ
把x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入上式得
?]． 2x2＋y2＝2x
∴C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1) ∴半圆C的圆心为(1，0)，半径为1
可得C的参数方程为x＝1＋costy＝sint(t为参数，0≤t≤π) （Ⅱ）设D(1＋cost，sint)
由(Ⅰ)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆 ∵C在点D处的切线与l垂直
∴直线GD与l的斜率相同．tant＝3，t＝π3
故D的直角坐标为1＋cosπ3，sinπ3，即32，32
【题型3】极坐标方程 ? 参数方程．
?x?acost7．（2016全国Ⅰ卷，文/理23，10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为??y?1?asint（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ． （Ⅰ）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在
C3上，求a．
解：（Ⅰ）解法一：C1是圆的方程…………1分
?x?acost由?消去参数t得…………2分 ?y?1?asint（此处为消参的计算过程，可省略） ?x2?a2cos2t①即 ?222?x?acost(y?1)?asint②?移项，得? y?1?asint?①＋②，得 x2＋(y－1)2＝a2cos2t＋a2sin2t ?x2?(acost)2两边平方，得? 22x2＋(y－1)2＝a2(cos2t＋sin2t) ?(y?1)?(asint)x2＋(y－1)2＝a2
① 222整理得x?y?2y?1?a?0…………3分 222∴把x?y??，y??sin?代入上式得…………4分
x2??y?1??a22?2?2?sin??1?a2?0 22∴C1的极坐标方程为??2?sin??1?a?0…………5分 （Ⅱ）由C2：ρ＝4cosθ得 两边同乘ρ得ρ2＝4ρcosθ ∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x ?x2?y2?4x…………6分 2即?x?2??y?4②…………7分 C3：化为普通方程为y?2x…………8分 由题意：C1和C2的公共方程所在直线即为C3 2①－②得：4x?2y?1?a?0，即为C3…………9分 2∴1?a?0 2
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