3y(n)??zn?1,z?z(zn?2p?n?2n?2?2?a)z1?(z1?a)z2?(z1?z2)a
?Y(z)p?1 (z1?zu(n)2)(z1?a)(z2?a)
将z1?rej?,z2?re?j?代入上式，即可得到
y(n)
16. 下图是一个因果稳定系统的结构，试列出系统差分方程，
求系统函数。当
b0?0.5,b1?1,a1?0.5时，求系统单
位冲激响应 , 画出系统零极点图和频率响应曲线。
分析：
解法一：利用此系统是一阶系统写出差分方程，令其二阶项系统为零，可得一阶差分方程，取Z变换求得H（z）从而求得h（n）。
解法二：将系统用流图表示，改变流图中两个一阶节的级联次序
（线性系统服从交换定理），然后写出差分方程，再取Z变换 求得H（z）从而求得h（n）。
解法一:由图示可得
x1(n)?x(n)?a1x1(n?1)
y(n)?b0x1(n)?b1x1(n?1)
则 y(n)?ky(n?1)?b0x1(n)?b1x1(n?1)?kb0x1(n?1)?kb1x1(n?2)
?b0x(n)?(a1b0?b1?kb0)x1(n?1)?kb1x1(n?2)
?b0x(n)?(a1b0?b1?kb0)x(n?1)
?a1(a1b0?b1?kb0)x1(n?2)?kb1x1(n?2)
由方框图可看出：差分方程应该是一阶的
所以 a21b0?a1b1?ka1b0?kb1?0?k??a1
43
则有
y(n)?a1y(n?1)?b0x(n)?(a1b0?b1?a1b0)x(n?1)
?b0x(n)?b1x(n?1)
即 Y(z)(1?a1?11z?)?(b0?b1z)X(z)
所以 H(z)?Y(z)b0?b1z?1X(z)?1?a1z?1
当 b0?0.5,b1?1,a1?0.5 时：
b0?b?1H(z)?1z?10.5?z1?a?1z?11?0.5z?1
0.5z?1?1?0.5z?1?1?0.5z?1
因为此系统是一个因果稳定系统 ; 所以其收敛
域为 z?0.5
?h(n)?0.5??0.5?nu(n)??0.5?n?1u(n?1)
解法二： 将图P2-11 画成流图结构，并化简如下：
由于线性流图的级联结构可以改变级联次序，因而上图又可化成：
由这个流图即可很方便地写出其线性差分方程：
y(n)?a1y(n?1)?b0x(n)?b1x(n?1)
取z变换可得：
44
Y(z)(1?a?11z)?(b10?b1z?)X(z)
所以
(z)?Y(z)?b0?b1z?1H X(z)1?a?11z 将 b0?0.5,b1?1,a1?0.5代入，可得：
H(z)?0.5?z?11?0.51?0.5z?1?zz?0.5H(z)1?0.z?5zz(z?0.5)?Az?Bz?0.5, 其中A??2,B?2.5
因而 H(z)??2?2.5zz?0.5,|z|?0.5
(由于系统是因果稳定的)
所以 h(n)??2?(n)?2.5?(0.5)nu(n) 17．设
x(n)是一离散时间信号，其z变换为X(z)，对下列信
号利用X(z)求它们的z变换：
(a)
x1(n)??x(n)，这里△记作一次差分算子，定义为：
?x(n)?x(n)?x(n?1)
x(n2),n为偶数(b) x2(n)?{0，n为奇数
(c) x3(n)?x(2n)
分析：
x2(n)式序列的抽取序列，x3(n)是
内插零值序列（不是内插序列），解题的 关键是要进行变量变换，以得到与x(n) 的Z变换相似的表达式。 解：
(a) Z??x(n)??Z?x(n)??Z?x(n?1)?
?X(z)?z?1X(z)?(1?z?1)X(z) 45
(b)
Z?x2(n)???n??nx?? z?n?even?2?， n则2
?2m令m??上式?m????x(m)z?X(z2)
?m)?z?n?x(m)z?2(c)令m?2n则Y(zn?x(2n)???m??even由此可设
?x(m)?12?1?(?1)m? x(m)则：Y(z)?11?(?1)m x(m)?z?2 ??mm????2???m1?1?x(m)?m2?12?x(m)??1?2?2z??1?1m???2?X(z2)?X(?z2)?m?????z???
???
46
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