点评： 本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．
15．（5分）在△PQR中，若
?
=7，|
﹣
|=6，则△PQR面积的最大值为12．
考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 计算题；不等式的解法及应用；平面向量及应用．
分析： 运用向量的数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，再由重要不等式22
m+n≥2mn，得到nm的最大值，再由三角形的面积公式，化简整理即可得到所求值．
解答： 解：设|则|
?﹣
2
|=m，||=n，
=7，即为mncosP=7， |=6，即为m+n﹣2
2
2
2
=36，
即有m+n=50，
22
由于m+n≥2mn，则mn≤25， 当且仅当m=n=5取得等号， △PQR面积S=mnsinP=mn=
=12．
当且仅当m=n=5，取得最大值12． 故答案为：12．
点评： 本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的面积公式，考查重要不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．
16．（5分）已知函数f（x）=x﹣3ax﹣6a+3a（a＞0）有且仅有一个零点x0，若x0＞0，则a的取值范围是（
，
）．
3
2
2
=
考点： 利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理． 专题： 计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析： 由题意求导f′（x）=3x﹣3a=3（x+a）（x﹣a），则由题意知f（﹣a）=2a﹣6a+3a=2a（a﹣
）（a﹣
2
2232
）＜0，从而解得．
2
解答： 解：f′（x）=3x﹣3a=3（x+a）（x﹣a）；
322
则函数f（x）=x﹣3ax﹣6a+3a在（﹣∞，﹣a）上是增函数， 在（﹣a，a）上是减函数， 在（a，+∞）上是增函数； 且f（﹣a）=2a﹣6a+3a=2a（a﹣则结合函数的图象知， 2a（a﹣故
）（a﹣＜a＜
； ，
）． ）＜0；
3
2
）（a﹣）；
故答案为：（
点评： 本题考查了导数的综合应用及数形结合的数学思想应用，属于中档题．
三、解答题（共5小题，每题12分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosB﹣bcosA=c． （Ⅰ）求证tanA=3tanB；
（Ⅱ）若B=45°，b=，求△ABC的面积．
考点： 正弦定理；同角三角函数基本关系的运用． 专题： 解三角形．
分析： （Ⅰ）题中等式利用正弦定理化简，利用同角三角函数间基本关系整理即可得证； （Ⅱ）由tanB的值确定出tanA的值，进而求出sinA与cosA的值，由sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入求出sinC的值，利用正弦定理求出c的值，由b，c，sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
解答： 解：（Ⅰ）∵acosB﹣bcosA=c，
∴由正弦定理化简得：sinAcosB﹣sinBcosA=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB， 整理得：sinAcosB=3cosAsinB， ∵cosAcosB≠0， ∴tanA=3tanB；
（Ⅱ）∵tanA=3，∴sinA=
，cosA=
，
由正弦定理=得：a===3，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=∴S△ABC=absinC=×3×
×
=3．
×+×=，
点评： 此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=2，E，F分别是CC1，A1B1的中点．
（Ⅰ）求证AE⊥平面BCF；
（Ⅱ）求二面角A﹣CF﹣B的平面角的余弦值．
考点： 直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法． 专题： 空间角；空间向量及应用．
分析： （Ⅰ）建立坐标系，利用向量法证明AE⊥平面BCF；
（Ⅱ）求平面的法向量，利用向量法即可求二面角A﹣CF﹣B的平面角的余弦值． 解答： 证明：（Ⅰ）建立以C1为坐标原点的空间坐标系如图， ∵AC=BC=AA1=2，E，F分别是CC1，A1B1的中点． ∴A（0，2，2），B（2，0，2），E（0，0，1），A1（0，2，0），F（1，1，0），B1（2，0，0），C（0，0，2）
则则则
=（0，﹣2，﹣1），?⊥
=0，，
?⊥
=（﹣2，0，0），=（1，1，﹣2），
=﹣2+2=0， ，
即AE⊥BC，AE⊥CF， 则AE⊥平面BCF；
（Ⅱ）∵AE⊥平面BCF， ∴
=（0，﹣2，﹣1）是平面BCF的法向量，
设平面ACF的法向量为=（x，y，z），
则
解得y=0，x﹣2z=0，
，
令z=1，则x=2，即=（2，0，1）， 则cos＜
，＞=
=
=
，
则二面角A﹣CF﹣B的平面角的余弦值为cos＜，＞=﹣．
点评： 本题主要考查空间直线和平面垂直的判断已经空间二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键． 19．（12分）某市现有居民300万人，每天有1%的人选择乘出租车出行，记每个人的乘车里程为x（km），1≤x≤21．由调查数据得到x的频率分布直方图（如图），在直方图的乘车里程分组中，可以用各组在区间中点值代表该组的各个值，乘车里程落入该区间的频率作为乘车里程取该区间中点值的概率，现规定乘车里程x≤3时，乘车费用为10元；当x＞3时，每超出1km（不足1km时按1km计算），乘车费用增加1.3元． （Ⅰ）求从乘客中任选2人乘车里程超过10km的概率；
（Ⅱ）试估计出租车公司一天的总收入是多少？（精确到0.01万元）
考点： 频率分布直方图． 专题： 概率与统计．
分析： （Ⅰ）求出从乘客中任选1人乘车里程超过10km的概率，再根据相互独立事件同时发生的概率求出从乘客中任选2人乘车里程超过10km的概率；
（Ⅱ）计算每一个乘客乘出租车的平均花费，再求出一天所有乘客的乘车费用，即可求出总收入．
解答： 解：（Ⅰ）从乘客中任选1人乘车里程超过10km的概率是： （0.05+0.025+0.0125）×4=0.35，
∴从乘客中任选2人乘车里程超过10km的概率是： 0.35×0.35=0.1225；
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