数列经典综合题
等差数列与等比数列综合题
例1 等比数列{an}的前n 项和为sn,已知S1,S3,S2成等差数列 (1)求{an}的公比q;(2)求a1-a3=3,求sn 例2 在正项数列?an?中,令Sn??i?1n1.
ai?ai?1(Ⅰ)若?an?是首项为25,公差为2的等差数列,求S100; (Ⅱ)若Sn?np(p为正常数)对正整数n恒成立,求证?an?为等差数列;
a1?an?1例3 已知{an}是公比为q的等比数列,且am,am?2,am?1成等差数列.
(1)求q的值;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,试判断Sm,Sm?2,Sm?1是否成等差数列?说明理由. 例4 已知数列{an}的首项a1?a(a是常数),an?2an?1?n2?4n?2(n?N,n?2).(Ⅰ)?an?是否可能是等差数列.若可能,求出?an?的通项公式;若不可能,说明理由;
2(Ⅱ)设b1?b,bn?an?n(n?N,n?2),Sn为数列?bn?的前n项和,且
?Sn?是等比数列,求实数a、b满足的条件.
例5 设数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2-an,n=1,2,3,?. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1,且bn+1=bn+an,求数列{bn}的通项公式; (Ⅲ)设cn=n(3-bn),求数列{cn}的前n项和Tn. 例
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已知数列{an}中,a0?2,a1??4?n2na?且对3a,2?,6n≥3时有
an?(n?4?1)na.(4?n? n8a)(Ⅰ)设数列{bn}满足bn?an?nan?1,n?N?,证明数列{bn?1?2bn}为等比数列,并求数
列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)记n?(n?1)???2?1?n!,求数列{nan}的前n项和Sn 例7 设数列?an?,?bn?满足a1?1,b1?0且
?an?1?2an?3bn,??bn?1?an?2bn,n?1,2,3,??
(Ⅰ)求?的值,使得数列?an??bn?为等比数列;(Ⅱ)求数列?an?和?bn?的通项公式;
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?,求极限lim(Ⅲ)令数列?an?和?bn?的前n项和分别为Sn和SnSn的值.
n??S?n2例8 数列?an?的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意n?N*,总有an,Sn,an成等差数列.
(Ⅰ)求数列?an?的通项公式;
(Ⅱ)设数列?bn?的前n项和为Tn ,且bn?lnnxan2,求证:对任意实数x??1,e?(e是常数,
e=2.71828???)和任意正整数n,总有Tn? 2;
(Ⅲ) 正数数列?cn?中,an?1??cn?n?1,(n?N*).求数列?cn?中的最大项.
例9 设?an?是公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和,满足
a22?a32?a42?a52,S7?7。
(1)求数列?an?的通项公式及前n项和Sn; (2)试求所有的正整数m,使得
amam?1为数列?an?中的项。 am?2例10 已知?an?是公差为d的等差数列,?bn?是公比为q的等比数列。
(1) 若an?3n?1,是否存在m、k?N*,有am?am?1?ak?说明理由; (2) 找出所有数列?an?和?bn?,使对一切n?N,
*an?1?bn,并说明理由; an(3) 若a1?5,d?4,b1?q?3,试确定所有的p,使数列?an?中存在某个连续p项的和是数列?bn?中的一项,请证明。
二、点列综合题
例11 设曲线c:y?x(x?0)上的点为P0(x0,y0),过P0作曲线c的切线与x轴交于Q1,过Q1作平行于y轴的直线与曲线c交于P1(x1,y1),然后再过P1作曲线c的切线交x轴于Q2,过Q2作平行于y轴的直线与曲线c交于P2(x2,y2),依此类推,作出以下各点:P0,Q1,P1,Q2,P2,Q3,?Pn,Qn+1?,已知x0?2,设Pn(xn,yn)(n?N)
2(1)求出过点P0的切线方程;(2)设xn?f(n),求f(n)的表达式;(3)设
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Sn?x0?x1???xn,求
例12 已知点P?a·b,b?,bn?1nn?1n?1nann满足:a??bn,nN?,且已知21?an?12?P0?,? (1)求过点Pn?n?2?与直线l0,P1的直线l的方程; (2)判断点P?33?的位置关系,并证明你的结论;(3)求点Pn的极限位置。
例13 如图,P1(x1,y1),P2(x2,y2),?,Pn(xn,yn),(0?y1?y2???yn)是曲线
?Ai?1AiPiC:y2?3x(y?0)上的n个点,点Ai(ai,0)(i?1,2,3,?,n)在x轴的正半轴上,
是正三角形(A0是坐标原点) .(Ⅰ) 写出a1,a2,a3;(Ⅱ)求出点An(an,0)(n?N*)的横坐标
an关于n的表达式;(Ⅲ)设bn?m???1,1?时,不等式t2?2mt?1111?????,若对任意正整数n,当an?1an?2an?3a2n1?bn恒成立,求实数t的取值范围. 6??1B·AC?,P1为AB边上的一例14 △ABC中,|AB|=|AC|=1,A22点,BP≠AB,从P1向BC作垂线,垂足是Q1;从Q1向CA作垂13线,垂足是R1;从R1向AB作垂线,垂足是P2,再由P2开始重复上述作法,依次得Q2,R2,P3;Q3,R3,P4??
(1)令BPn为xn,寻求BPn与BPxn与n?1)之间的关系。 n?1(即x (2)点列P是否一定趋向于某一个定点P0?说明理由; ,PPP,,??P1234nB|?1,|BP|?, (3)若|A则是否存在正整数m,使点P0与Pm之间的距离小于0.001?1若存在,求m的最小值。
例15 已知曲线Cn:x?2nx?y?0(n?1,2,?).从点P(?1,0)向曲线Cn引斜率为
2213kn(kn?0)的切线ln,切点为Pn(xn,yn).
(1)求数列{xn}与{yn}的通项公式;(2)证明:x1?x3?x5???x2n?1?1?xnx?2sinn. 1?xnyn 例16 数轴上有一列点P1,P2,P3,…,Pn,…,已知当n?2时,点Pn是把线段Pn – 1 Pn+1作n等分的分点中最靠近Pn+1的点,设线段P1P2,P2P3,…,Pn Pn + 1的长度分别为a1,a2,
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a3,…,an,其中a1 = 1.(1)写出a2,a3和an(n?2,n?N*)的表达式;
(2)证明a1 + a2 + a3 +…+an < 3(n?N*);(3)设点Mn( n,an)(n > 2,n?N*),在这些点
k(k?0)的图像上,如果存在,请求出点的坐标;如果中是否存在两个点同时在函数y?(x?1)2不存在,请说明理由.
例17 在直角坐标系中,有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),?,Pn(an,bn),?对每一个正整数n,点Pn在给定的函数y=log3(2x)的图像上.而在递增数列{an}中,an与an+1是关于x的方程4x2-8nx+4n2-1=0(n∈N*)的两个根.
c1c2cnb
(Ⅰ)求点Pn的纵坐标bn的表达式;(Ⅱ)记cn=3 n,n∈N*.证明+2+?+n<3; 222例18 已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、?、Bn(n,yn)(n∈N)顺次为一次函数y?141x?12图像
上的点,点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、?、An(xn,0)(n∈N)顺次为x轴正半轴上的点,其中x1=a(0<a<1),对于任意n∈N,点An、Bn、An+1构成一个顶角的顶点为Bn的等腰三角形。 ⑴求数列{yn}的通项公式,并证明{yn}是等差数列;⑵证明xn+2-xn为常数,并求出数列{xn}的通项公式;⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中,是否存在直角三角形?若有,求出此时a值;若不存在,请说明理由。
三、数列与向量交汇的综合题
例19
已知Sn为数列?an?的前n项和,a=?Sn,1?, b=?1,2an?2???n?1?,a?b??(1)求证:?(2) 若bn??an?为等差数列; n??2?n?2011an,问是否存在n0, 对于任意k(k?N?),不等式bk?bn0成立.
n?123n例20 在直角坐标平面中,已知点P1(1,2),P2(2,2),P3(3,2),?Pn(n,2),其中n是正数
对平面上任一点A0,记A1为A0关于点P1的对称点,A2为A1关于点P2的对称点,??,An为An-1关于点Pn的对称点. (1)求向量A0A2的坐标;(2)对任意偶数n,用n表示向量A0An的坐标.
例21 已知数列{an}的首项a1?1,a2?3,前n项和为Sn,且Sn?1、Sn、Sn?1(n ≥2)
????2a?1????nBC,设b1?1,分别是直线l上的点A、B、C的横坐标,AB?anbn?1?log2(an?1)?bn.⑴ 判断数列{an?1}是否为等比数列,并证明你的结论;
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