数列经典综合题
等差数列与等比数列综合题
例1 等比数列{an}的前n 项和为sn，已知S1,S3,S2成等差数列 （1）求{an}的公比q；（2）求a1－a3＝3，求sn 例2 在正项数列?an?中,令Sn??i?1n1.
ai?ai?1（Ⅰ）若?an?是首项为25,公差为2的等差数列,求S100； （Ⅱ）若Sn?np（p为正常数）对正整数n恒成立,求证?an?为等差数列；
a1?an?1例3 已知{an}是公比为q的等比数列，且am,am?2,am?1成等差数列.
（1）求q的值；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，试判断Sm,Sm?2,Sm?1是否成等差数列？说明理由. 例4 已知数列｛an｝的首项a1?a（a是常数），an?2an?1?n2?4n?2（n?N,n?2）．（Ⅰ）?an?是否可能是等差数列.若可能，求出?an?的通项公式；若不可能，说明理由；
2（Ⅱ）设b1?b，bn?an?n（n?N,n?2），Sn为数列?bn?的前n项和，且
?Sn?是等比数列，求实数a、b满足的条件．
例5 设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n=1，2，3，?. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式； (Ⅲ)设cn=n(3-bn)，求数列{cn}的前n项和Tn. 例
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已知数列{an}中，a0?2,a1??4?n2na?且对3a,2?，6n≥3时有
an?(n?4?1)na．(4?n? n8a)（Ⅰ）设数列{bn}满足bn?an?nan?1,n?N?，证明数列{bn?1?2bn}为等比数列，并求数
列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）记n?(n?1)???2?1?n!，求数列{nan}的前n项和Sn 例7 设数列?an?,?bn?满足a1?1,b1?0且
?an?1?2an?3bn,??bn?1?an?2bn,n?1,2,3,??
（Ⅰ）求?的值，使得数列?an??bn?为等比数列；（Ⅱ）求数列?an?和?bn?的通项公式；
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?，求极限lim（Ⅲ）令数列?an?和?bn?的前n项和分别为Sn和SnSn的值．
n??S?n2例8 数列?an?的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n?N*，总有an,Sn,an成等差数列.
(Ⅰ)求数列?an?的通项公式；
(Ⅱ)设数列?bn?的前n项和为Tn ，且bn?lnnxan2，求证:对任意实数x??1,e?（e是常数，
e＝2.71828???）和任意正整数n，总有Tn? 2；
(Ⅲ) 正数数列?cn?中，an?1??cn?n?1,(n?N*).求数列?cn?中的最大项.
例9 设?an?是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足
a22?a32?a42?a52,S7?7。
（1）求数列?an?的通项公式及前n项和Sn； （2）试求所有的正整数m，使得
amam?1为数列?an?中的项。 am?2例10 已知?an?是公差为d的等差数列，?bn?是公比为q的等比数列。
（1） 若an?3n?1，是否存在m、k?N*，有am?am?1?ak?说明理由； （2） 找出所有数列?an?和?bn?，使对一切n?N,
*an?1?bn,并说明理由； an（3） 若a1?5,d?4,b1?q?3,试确定所有的p，使数列?an?中存在某个连续p项的和是数列?bn?中的一项，请证明。
二、点列综合题
例11 设曲线c:y?x(x?0)上的点为P0(x0,y0),过P0作曲线c的切线与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线c交于P1(x1,y1)，然后再过P1作曲线c的切线交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线c交于P2(x2,y2)，依此类推，作出以下各点：P0，Q1，P1，Q2，P2，Q3，?Pn，Qn+1?，已知x0?2，设Pn(xn,yn)(n?N)
2（1）求出过点P0的切线方程；（2）设xn?f(n),求f(n)的表达式；（3）设
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Sn?x0?x1???xn,求
例12 已知点P?a·b，b?，bn?1nn?1n?1nann满足：a??bn，nN?，且已知21?an?12?P0?，? （1）求过点Pn?n?2?与直线l0，P1的直线l的方程； （2）判断点P?33?的位置关系，并证明你的结论；（3）求点Pn的极限位置。
例13 如图，P1(x1,y1),P2(x2,y2),?,Pn(xn,yn),(0?y1?y2???yn)是曲线
?Ai?1AiPiC:y2?3x(y?0)上的n个点，点Ai(ai,0)(i?1,2,3,?,n)在x轴的正半轴上，
是正三角形(A0是坐标原点) .(Ⅰ) 写出a1,a2,a3；(Ⅱ)求出点An(an,0)(n?N*)的横坐标
an关于n的表达式；(Ⅲ)设bn?m???1,1?时，不等式t2?2mt?1111?????，若对任意正整数n，当an?1an?2an?3a2n1?bn恒成立，求实数t的取值范围. 6??1B·AC?，P1为AB边上的一例14 △ABC中，|AB|=|AC|=1，A22点，BP≠AB，从P1向BC作垂线，垂足是Q1；从Q1向CA作垂13线，垂足是R1；从R1向AB作垂线，垂足是P2，再由P2开始重复上述作法，依次得Q2，R2，P3；Q3，R3，P4??
（1）令BPn为xn，寻求BPn与BPxn与n?1）之间的关系。 n?1（即x （2）点列P是否一定趋向于某一个定点P0？说明理由； ，PPP，，??P1234nB|?1，|BP|?， （3）若|A则是否存在正整数m，使点P0与Pm之间的距离小于0.001？1若存在，求m的最小值。
例15 已知曲线Cn:x?2nx?y?0(n?1,2,?)．从点P(?1,0)向曲线Cn引斜率为
2213kn(kn?0)的切线ln，切点为Pn(xn,yn)．
（1）求数列{xn}与{yn}的通项公式；（2）证明：x1?x3?x5???x2n?1?1?xnx?2sinn. 1?xnyn 例16 数轴上有一列点P1，P2，P3，…，Pn，…，已知当n?2时，点Pn是把线段Pn – 1 Pn+1作n等分的分点中最靠近Pn+1的点，设线段P1P2，P2P3，…，Pn Pn + 1的长度分别为a1，a2，
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a3，…，an，其中a1 = 1．（1）写出a2，a3和an（n?2，n?N*）的表达式；
（2）证明a1 + a2 + a3 +…+an < 3（n?N*）；（3）设点Mn( n，an)（n > 2，n?N*），在这些点
k(k?0)的图像上，如果存在，请求出点的坐标；如果中是否存在两个点同时在函数y?(x?1)2不存在，请说明理由．
例17 在直角坐标系中，有一点列P1(a1，b1)，P2(a2，b2)，?，Pn(an，bn)，?对每一个正整数n，点Pn在给定的函数y＝log3(2x)的图像上.而在递增数列{an}中，an与an+1是关于x的方程4x2－8nx＋4n2－1＝0（n∈N*）的两个根．
c1c2cnb
（Ⅰ）求点Pn的纵坐标bn的表达式；（Ⅱ）记cn＝3 n，n∈N*.证明＋2＋?＋n＜3； 222例18 已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、?、Bn(n,yn)（n∈N）顺次为一次函数y?141x?12图像
上的点，点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、?、An(xn,0)（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成一个顶角的顶点为Bn的等腰三角形。 ⑴求数列{yn}的通项公式，并证明{yn}是等差数列；⑵证明xn+2-xn为常数，并求出数列{xn}的通项公式；⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由。
三、数列与向量交汇的综合题
例19
已知Sn为数列?an?的前n项和，a=?Sn,1?, b=?1,2an?2???n?1?,a?b??（1）求证：?(2) 若bn??an?为等差数列； n??2?n?2011an,问是否存在n0, 对于任意k（k?N?），不等式bk?bn0成立.
n?123n例20 在直角坐标平面中，已知点P1(1,2),P2(2,2),P3(3,2),?Pn(n,2)，其中n是正数
对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，??，An为An－1关于点Pn的对称点. （1）求向量A0A2的坐标；（2）对任意偶数n，用n表示向量A0An的坐标.
例21 已知数列{an}的首项a1?1，a2?3，前n项和为Sn，且Sn?1、Sn、Sn?1（n ≥2）
????2a?1????nBC，设b1?1，分别是直线l上的点A、B、C的横坐标，AB?anbn?1?log2(an?1)?bn．⑴ 判断数列{an?1}是否为等比数列，并证明你的结论；
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